$course$/QCM de maths/Seconde/Arithmétique Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs,
nombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers
raisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests
algorithmiques.

]]> Arithmétique — Q01 : Reconnaître un multiple Le nombre 51 est-il un multiple de 17 ?

]]> Définition : a est multiple de b s'il existe un entier k
tel que a = kb. Ici 51 = 3 × 17 : 51 est multiple de
17 (et 17 est un diviseur de 51).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 51 = 3 × 17

]]> Bonne réponse : il existe un entier k (ici k = 3) tel
que 51 = k × 17 : c'est la définition d'un multiple.

]]> Non, car 51 est impair

]]> Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par
2. Un nombre impair peut très bien être multiple de
17 : 51 = 3 × 17.

]]> Non, car 17 + 17 = 34 ≠ 51

]]> Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de 17
sont 17, 34, 51, 68… : 51 en fait partie
(3 × 17).

]]> Oui, car 51 se termine par 1 comme... 17 ?

]]> La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun
critère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre
pour 17. La seule justification valable est
51 = 3 × 17.

]]> Arithmétique — Q02 : Écriture d'un nombre pair Comment caractérise-t-on un entier pair n ?

]]> n pair ⇔ n = 2k avec k entier ;
n impair ⇔ n = 2k + 1. Ces écritures
littérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un
impair est impair).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un entier k tel que n = 2k

]]> Bonne réponse : pair = multiple de 2. Cette écriture
n = 2k est l'outil de toutes les démonstrations de
parité.

]]> Il existe un entier k tel que n = 2k + 1

]]> Erreur : 2k + 1 est l'écriture d'un nombre impair
(un pair plus un).

]]> n se termine par 2

]]> Insuffisant : 14, 36, 58, 70 sont pairs sans se
terminer par 2. Le critère du dernier chiffre est
« 0, 2, 4, 6 ou 8 », mais la définition est
n = 2k.

]]> n est positif

]]> Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. -6 est
pair (-6 = 2 × (-3)).

]]> Arithmétique — Q03 : Le cas de zéro Le nombre 0 est-il un multiple de 7 ?

]]> 0 = 0 × b pour tout entier b : 0 est multiple de
tous les entiers. En revanche, 0 ne divise aucun entier
non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 0 = 0 × 7

]]> Bonne réponse : la définition demande un entier k tel que
0 = k × 7, et k = 0 convient. 0 est multiple de
tout entier.

]]> Non, car 0 n'est dans la table de personne

]]> Erreur : la « table de 7 » commence bien par
0 × 7 = 0. L'intuition des tables récitées à partir
de 1 fait oublier ce premier terme.

]]> Non, car on ne peut pas diviser par 0

]]> Confusion : on ne divise pas par 0, mais ici c'est
0 qu'on divise par 7 (0 ÷ 7 = 0, sans problème).

]]> Oui, mais seulement si on admet k non entier

]]> Erreur : k = 0 est un entier parfaitement valable. Aucune
extension n'est nécessaire.

]]> Arithmétique — Q04 : Somme de deux multiples Soient m et n deux multiples de 7. Que peut-on dire de
leur somme m + n ?

]]> Démonstration type (au programme) : m = 7k, n = 7j, donc
m + n = 7(k + j) : multiple de 7. La factorisation par 7
est tout l'argument.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est toujours un multiple de 7

]]> Bonne réponse : m = 7k et n = 7j donnent
m + n = 7(k + j), avec k + j entier : c'est la
démonstration du programme.

]]> C'est un multiple de 14

]]> Erreur : 7 + 14 = 21 est multiple de 7 mais pas de
14. La somme reste dans les multiples de 7, sans
doubler la base.

]]> Ce n'est un multiple de 7 que si m = n

]]> Erreur : aucune condition n'est nécessaire :
7(k + j) fonctionne pour tous entiers k et j.

]]> On ne peut rien dire en général

]]> Erreur : la factorisation m + n = 7k + 7j = 7(k+j)
conclut dans tous les cas.

]]> Arithmétique — Q05 : Carré d'un nombre impair Soit n = 2k + 1 un entier impair. Sa mise au carré donne
n² = 4k² + 4k + 1. Que peut-on en conclure ?

]]> (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 : la forme
2 × entier + 1 prouve que le carré d'un impair
est impair, quel que soit k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n² = 2(2k² + 2k) + 1 est impair

]]> Bonne réponse : n² s'écrit 2 × entier + 1,
la forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration
du programme.

]]> n² est pair car 4k² + 4k est pair

]]> Erreur de lecture : 4k² + 4k est bien pair, mais il
reste le +1 final qui rend le total impair.

]]> n² est multiple de 4

]]> Erreur : le +1 empêche la divisibilité par 4 (et même
par 2). Exemple : 3² = 9, pas multiple de 4.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître k

]]> Erreur : l'écriture 2(2k² + 2k) + 1 conclut pour
tout entier k : c'est la force du calcul littéral.

]]> Arithmétique — Q06 : Compter les diviseurs Combien l'entier 12 possède-t-il de diviseurs positifs ?

]]> Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Méthode : chercher les
paires dont le produit vaut 12. Diviseurs = nombre fini ;
multiples = infinité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 (à savoir 1, 2, 3, 4, 6 et 12)

]]> Bonne réponse : on les trouve par paires de produit 12 :
1 × 12, 2 × 6, 3 × 4.

]]> 4

]]> Incomplet : n'oublie pas les extrêmes 1 et 12, qui sont
toujours diviseurs.

]]> 5

]]> Presque : recompte par paires (1 × 12,
2 × 6, 3 × 4) : cela fait 6 diviseurs.

]]> Une infinité

]]> Erreur : ce sont les multiples de 12 qui sont en
nombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en
nombre fini.

]]> Arithmétique — Q07 : Fraction irréductible Quelle est la forme irréductible de la fraction
42/56 ?

]]> Irréductible = numérateur et dénominateur sans diviseur commun
autre que 1. 42/56 = 42 ÷ 14/56 ÷ 14 = ¾.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¾

]]> Bonne réponse : 42 = 14 × 3 et 56 = 14 × 4 :
on simplifie par 14 et il ne reste aucun diviseur commun.

]]> 21/28

]]> Simplification inachevée : tu as divisé par 2, mais 21
et 28 restent tous deux divisibles par 7 :
21/28 = ¾.

]]> 6/8

]]> Simplification inachevée : 6 et 8 sont encore
divisibles par 2 : 6/8 = ¾.

]]> ⅔

]]> Erreur de calcul : \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67 alors que
\dfrac{42}{56} = 0{,}75. La simplification correcte par
14 donne ¾.

]]> Arithmétique — Q08 : Les ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ Quelle affirmation est correcte à propos du nombre -3 ?

]]> \mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\ldots\} (entiers naturels)
et \mathbb{Z} = \{\ldots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,
\ldots\} (entiers relatifs) : ℕ ⊂ ℤ
et -3 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 ∈ ℤ mais -3 ∉ ℕ

]]> Bonne réponse : ℕ contient les entiers
naturels (0, 1, 2, …) et ℤ tous les
entiers relatifs, négatifs compris.

]]> -3 ∈ ℕ et -3 ∈ ℤ

]]> Erreur : ℕ ne contient aucun nombre négatif.
Les négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de
ℤ.

]]> -3 ∉ ℤ car il est négatif

]]> Erreur : c'est précisément la raison d'être de
ℤ : accueillir les entiers négatifs
(…, -2, -1, 0, 1, 2, …).

]]> -3 ∈ ℕ car 3 ∈ ℕ

]]> Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.
3 ∈ ℕ mais -3 n'y est pas.

]]> Arithmétique — Q09 : Raisonner sur la parité de $n^2$ Soit n un entier tel que n² est pair. Que peut-on en
déduire pour n ?

]]> Raisonnement par contraposée : « n impair ⇒
n² impair » équivaut à « n² pair ⇒ n
pair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de
√2.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n est pair

]]> Bonne réponse : si n était impair, son carré serait
impair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,
n² pair force n pair.

]]> n est impair

]]> Erreur : teste n = 4 : n² = 16 pair et n pair. Un
carré pair ne peut pas provenir d'un impair.

]]> On ne peut rien dire

]]> Erreur : la propriété « impair ⇒ carré
impair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La
conclusion n pair est certaine.

]]> n = 2

]]> Trop précis : n peut être 0, ± 2, ± 4, etc.
On déduit la parité de n, pas sa valeur.

]]> Arithmétique — Q10 : Somme d'un pair et d'un impair Que peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier
impair ?

]]> Table de parité, prouvée par le littéral : pair + pair =
pair ; impair + impair = pair ; pair + impair =
impair (2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est toujours impaire

]]> Bonne réponse : 2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1, forme d'un
nombre impair, quels que soient les entiers k et j.

]]> Elle est toujours paire

]]> Erreur : 2 + 3 = 5, impair. L'écriture littérale
2(k+j) + 1 montre que le +1 subsiste toujours.

]]> Sa parité dépend des nombres choisis

]]> Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :
pair + impair = 2(k+j) + 1, impair dans tous les
cas.

]]> Elle est multiple de 3

]]> Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par
3 (2 + 3 = 5 n'est pas multiple de 3).

]]> Arithmétique — Q11 : Tester un multiple en Python En Python, quelle condition teste si l'entier a est un
multiple de l'entier b (avec b non nul) ?

]]> L'opérateur % (modulo) renvoie le reste de la division
euclidienne : a % b == 0 équivaut à « a est multiple de
b ». C'est l'algorithme du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a % b == 0

]]> Bonne réponse : a % b est le reste de la division
euclidienne de a par b ; un reste nul signifie
exactement que b divise a.

]]> b % a == 0

]]> Sens inversé : cette condition teste si b est multiple
de a. L'ordre des opérandes compte.

]]> a / b == 0

]]> Erreur : a / b est le quotient décimal ; il ne vaut 0
que si a vaut 0. C'est le reste % qui teste la
divisibilité.

]]> a == b

]]> Erreur : l'égalité est un cas très particulier. 51 est
multiple de 17 sans lui être égal.

]]> Arithmétique — Q12 : Multiples communs Un bus A passe toutes les 4 minutes, un bus B toutes les 6
minutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de
minutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?

]]> Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de 4
et 6 : 12, 24, 36… Le premier est 12. Lister les
premiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12 minutes

]]> Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun
non nul de 4 et 6. Multiples de 4 : 4, 8, 12… ;
de 6 : 6, 12… : premier commun, 12.

]]> 24 minutes

]]> Erreur : 24 = 4 × 6 est un multiple commun,
mais pas le plus petit : 12 convient déjà
(12 = 3 × 4 = 2 × 6).

]]> 10 minutes

]]> Erreur : 10 = 4 + 6 additionne les périodes ; or 10
n'est multiple ni de 4 ni de 6.

]]> 2 minutes

]]> Erreur : 2 est un diviseur commun de 4 et 6. On
cherche ici un multiple commun (les instants de départ
simultané).

]]>