$course$/QCM de maths/Seconde/Calcul littéral, équations et inéquations Identités remarquables, développement et factorisation,
puissances et racines carrées (√ab = √a√b,
√a² = |a|), équations du premier degré, produit nul,
quotient, x² = a, inéquations et opérations sur les
inégalités, isoler une variable dans une formule.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q01 : Développer $(x + 3)^2$ Quel est le développement de (x + 3)² ?

]]> Identité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b². Ici
(x+3)² = x² + 6x + 9. Vérification rapide avec une valeur :
x = 1 donne 16 des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² + 6x + 9

]]> Bonne réponse : (a + b)² = a² + 2ab + b², avec le
double produit 2 × x × 3 = 6x.

]]> x² + 9

]]> L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme
n'est pas la somme des carrés. Le double produit 6x est
indispensable (teste avec x = 1 : (1+3)² = 16 ≠ 10).

]]> x² + 3x + 9

]]> Erreur : le terme croisé est le double produit
2 × 3 × x = 6x, pas 3x.

]]> x² + 6x + 3

]]> Erreur : le dernier terme est le carré de 3, soit
9, pas 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q02 : Factoriser $x^2 - 25$ Quelle est la factorisation de x² - 25 ?

]]> Troisième identité remarquable :
a² - b² = (a - b)(a + b). Ici x² - 25 = (x - 5)(x + 5),
point de départ des équations produit nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x - 5)(x + 5)

]]> Bonne réponse : différence de deux carrés,
a² - b² = (a - b)(a + b) avec a = x et b = 5.

]]> (x - 5)²

]]> Erreur : (x-5)² = x² - 10x + 25, avec un double
produit et un +25. La différence de carrés se
factorise en produit de facteurs conjugués.

]]> (x - 25)(x + 1)

]]> Erreur : ce produit vaut x² - 24x - 25. C'est b² = 25 donc b = 5 qui entre dans la factorisation.

]]> Cette expression ne se factorise pas

]]> Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :
x² - 25 = x² - 5² = (x-5)(x+5).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q03 : Équation produit nul Quelles sont les solutions de l'équation
(x - 2)(x + 5) = 0 ?

]]> Règle du produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0
ou B = 0. Ici : x = 2 ou x = -5. C'est la raison d'être
de la factorisation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2 ou x = -5

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un
de ses facteurs est nul : x - 2 = 0 ou x + 5 = 0.

]]> x = 2 ou x = 5

]]> Erreur de signe : x + 5 = 0 donne x = -5. Le signe de
la solution est l'opposé de celui écrit dans le
facteur.

]]> x = -2 ou x = 5

]]> Signes inversés sur les deux facteurs : x - 2 = 0 ⇒ x = 2 et x + 5 = 0 ⇒ x = -5.

]]> x = -10

]]> Erreur : tu as peut-être multiplié 2 × (-5). On ne
combine pas les solutions : chaque facteur nul en donne
une.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q04 : Résoudre $x^2 = 5$ Quelles sont les solutions réelles de l'équation x² = 5 ?

]]> Équation x² = a : deux solutions ±√a si a > 0,
une seule (0) si a = 0, aucune si a < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = √5 ou x = -√5

]]> Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :
l'équation x² = a (avec a > 0) a deux solutions,
±√a.

]]> x = √5 seulement

]]> Oubli : (-√5)² = 5 aussi. Le réflexe « racine
carrée » ne donne que la solution positive.

]]> x = 2{,}5

]]> Erreur : 2{,}5 = 5 \div 2 confond carré et double.
2{,}5^2 = 6{,}25 \neq 5.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : c'est x² = -5 qui n'a pas de solution réelle
(un carré n'est jamais négatif). Pour 5 > 0, il y en a
deux.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q05 : Équation quotient Quelles sont les solutions de l'équation
x + 1/x - 3 = 0 ?

]]> A(x)/B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 et
B(x) ≠ 0. Réflexe : commencer par noter la valeur
interdite (ici x = 3), puis résoudre le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -1 seulement

]]> Bonne réponse : un quotient est nul quand son
numérateur est nul et son dénominateur non nul :
x = -1 (et la valeur interdite x = 3 est écartée).

]]> x = -1 ou x = 3

]]> Erreur : x = 3 annule le dénominateur : le quotient
n'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une
solution.

]]> x = 3 seulement

]]> Erreur : 3 est la valeur interdite. La nullité d'un
quotient se joue au numérateur : x + 1 = 0.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : x = -1 convient : 0/-4 = 0, et le
dénominateur n'est pas nul en -1.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q06 : Inéquation et division par un négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
-2x + 6 > 0 ?

]]> Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre
strictement négatif change son sens. -2x + 6 > 0 ⇔ -2x > -6 ⇔ x < 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-∞ ; 3[

]]> Bonne réponse : -2x > -6 puis, en divisant par -2,
l'inégalité se renverse : x < 3.

]]> ]3 ; +∞[

]]> L'erreur classique : diviser par un nombre négatif
renverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec x = 0 :
-2(0) + 6 = 6 > 0, donc 0 est solution, et 0 < 3.

]]> ]-∞ ; -3[

]]> Erreur de signe sur la borne : -2x > -6 donne x < 3,
pas x < -3.

]]> ]-3 ; 3[

]]> Erreur : une inéquation du premier degré délimite une
demi-droite, pas un intervalle borné.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q07 : Produit de puissances Que vaut a³ × a⁵ (pour a réel non nul) ?

]]> Règles des puissances : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ;
aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Le produit
ajoute les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a⁸

]]> Bonne réponse : on ajoute les exposants :
a³ × a⁵ = a³⁺⁵ (trois facteurs a suivis de
cinq facteurs a).

]]> a¹⁵

]]> Erreur : multiplier les exposants correspond à la
puissance de puissance (a³)⁵. Pour un produit, on les
ajoute.

]]> a²

]]> Erreur : soustraire les exposants correspond au
quotient a⁵/a³.

]]> 2a⁸

]]> Erreur : aucun facteur 2 n'apparaît. Compter les
facteurs a suffit : 3 + 5 = 8 facteurs.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q08 : Simplifier $\sqrt{50}$ Quelle est l'écriture simplifiée de √50 ?

]]> Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré
parfait. √50 = √25 × 2 = 5√2, grâce à
√ab = √a √b (pour a, b ≥ 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5√2

]]> Bonne réponse : √50 = √25 × 2 = √25 √2 = 5√2 (la règle
√ab = √a√b est démontrée en cours).

]]> 25√2

]]> Erreur : √25 = 5, pas 25. La racine « défait »
le carré : 25 = 5² sort en 5.

]]> 2√5

]]> Erreur de décomposition : 2√5 = √4 × 5 = √20, pas √50. Il faut extraire le plus
grand carré : 50 = 25 × 2.

]]> 10√5

]]> Erreur : 10√5 = √100 × 5 = √500.
Contrôle utile : \sqrt{50} \approx 7{,}07 et
5\sqrt{2} \approx 7{,}07.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q09 : La relation $\sqrt{a^2} = |a|$ Que vaut √(-3)² ?

]]> √a² = |a| pour tout réel a : la racine carrée est
positive par définition. √(-3)² = √9 = 3 = |-3|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : (-3)² = 9 et √9 = 3. En
général, √a² = |a| : la racine carrée renvoie
toujours un résultat positif.

]]> -3

]]> Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas
purement : √a² = |a|, jamais négatif. Le signe de
départ est perdu par le carré.

]]> ± 3

]]> Confusion : le symbole √9 désigne le nombre
positif de carré 9. Le « ± » apparaît en résolvant
l'équation x² = 9, pas dans la valeur de la racine.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est le carré ; la racine le ramène à 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q10 : Isoler une variable dans une formule La loi d'Ohm s'écrit U = R × I. Comment exprime-t-on
I en fonction de U et R (avec R ≠ 0) ?

]]> Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération
inverse. U = RI ⇒ I = U/R. Même méthode
pour d = vt, S = π r², etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc I = U/R

]]> Bonne réponse : I est multiplié par R ; pour
l'isoler, on divise les deux membres par R.

]]> I = R/U

]]> Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :
si U = 12 et R = 4, alors I = 3, ce qui correspond à
U/R et non R/U = 1/3.

]]> I = U - R

]]> Erreur d'opération : U = RI est un produit ; on le
défait par une division, pas par une soustraction.

]]> I = U × R

]]> Erreur : multiplier encore par R éloigne de la
solution. On divise pour défaire la multiplication.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q11 : Opérations sur les inégalités Soient des réels tels que a < b et c < d. Laquelle de ces
inégalités est toujours vraie ?

]]> Seule l'addition membre à membre est toujours licite :
a < b et c < d ⇒ a + c < b + d. Soustraction,
produit et quotient demandent des précautions de signe, ou
sont carrément faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a + c < b + d

]]> Bonne réponse : les inégalités de même sens
s'additionnent toujours.

]]> a - c < b - d

]]> Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.
Contre-exemple : 0 < 1 et 0 < 10, mais
0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9.

]]> ac < bd

]]> Faux sans hypothèse de signe : -3 < 1 et -3 < 1, mais
(-3)(-3) = 9 > 1. La multiplication exige des nombres
positifs.

]]> a/c < b/d

]]> Faux en général (et c ou d pourrait être nul). Même
avec des positifs, diviser des inégalités membre à membre
n'est pas une règle valide.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q12 : Multiplier une inégalité par un négatif Soient a et b deux réels tels que a < b. Que peut-on
dire de -2a et -2b ?

]]> Multiplication d'une inégalité : par un réel positif, le
sens est conservé ; par un réel négatif, il est renversé.
a < b ⇒ -2a > -2b (lien avec la décroissance de
x ↦ -2x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2a > -2b

]]> Bonne réponse : multiplier par -2 < 0 renverse
l'inégalité. Exemple : 1 < 3 donne -2 > -6.

]]> -2a < -2b

]]> Erreur : teste a = 1, b = 3 : -2a = -2 et
-2b = -6, or -2 > -6. Le facteur négatif inverse
l'ordre.

]]> -2a = -2b

]]> Erreur : multiplier par une même constante non nulle
conserve la différence entre les nombres, elle ne les
égalise pas.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître les signes de a
et b

]]> Erreur : la règle vaut pour tous les réels : le signe
du multiplicateur (-2) suffit à déterminer le sens.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q13 : Réduire une expression Comment se réduit l'expression 3x + 5 + 2x - 1 ?

]]> Réduire = regrouper les termes de même nature : les x
ensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se
combine, jamais les familles entre elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5x + 4

]]> Bonne réponse : on regroupe les termes en x (3x + 2x = 5x) et les constantes (5 - 1 = 4).

]]> 9x

]]> Mélange interdit : 5 et -1 ne portent pas de x :
on ne peut pas les fusionner avec 3x et 2x.

]]> 5x - 4

]]> Signe : 5 - 1 = +4 (le moins ne porte que sur le
1).

]]> 6x + 4

]]> Erreur de somme : 3x + 2x = 5x (additionner les
coefficients : 3 + 2).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q14 : Résoudre $2x + 1 = 7$ Quelle est la solution de l'équation 2x + 1 = 7 ?

]]> Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition
(-1 des deux côtés), puis défaire la multiplication
(÷ 2). Et toujours vérifier en remplaçant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Bonne réponse : 2x = 6 (retirer 1 des deux côtés),
puis x = 3 (diviser par 2). Contrôle : 2 × 3 + 1 = 7 ✓.

]]> x = 4

]]> Ordre des opérations : diviser 7 + 1 = 8 par 2
suppose d'avoir ajouté 1 : or on doit le
retrancher : 7 - 1/2 = 3.

]]> x = 6

]]> Division oubliée : 2x = 6 n'est pas fini : il reste à
diviser par 2.

]]> x = 7/2

]]> Le +1 a été ignoré : avant de diviser, il faut
d'abord isoler 2x en retirant 1.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q15 : Puissance d'exposant négatif Que vaut 10⁻³ ?

]]> a⁻ⁿ = 1/aⁿ : notation des inverses. Pour les
puissances de 10 : l'exposant compte les rangs de la
virgule (10⁻³ : trois rangs vers la gauche) : la base
de l'écriture scientifique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}001

]]> Bonne réponse : 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 : l'exposant négatif signifie
« inverse ».

]]> -1000

]]> Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre
négatif : il le rend petit (1/1000),
toujours positif.

]]> -30

]]> Erreur : 10 × (-3) multiplie au lieu d'élever en
puissance : 10⁻³ est un inverse de puissance.

]]> 0{,}0001

]]> Un zéro de trop : \frac{1}{1000} = 0{,}001 (trois
rangs après la virgule pour l'exposant 3).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q16 : Développer $(2x + 1)(x - 3)$ Quel est le développement de (2x + 1)(x - 3) ?

]]> Double distributivité : chaque terme de la première
parenthèse multiplie chaque terme de la seconde (2 × 2 = 4 produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre
toutes les erreurs : le calculer en premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x² - 5x - 3

]]> Bonne réponse : quatre produits : 2x² - 6x + x - 3,
puis réduction : -6x + x = -5x.

]]> 2x² - 3

]]> Termes croisés oubliés : la double distributivité génère
quatre produits : les termes du milieu (-6x et
+x) ne s'annulent pas ici.

]]> 2x² + 5x - 3

]]> Signe : 2x × (-3) = -6x domine le +x : le
terme du milieu est -5x.

]]> 3x - 2

]]> Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les
multiplier : le produit crée un terme en x².

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q17 : Factoriser par le facteur commun Comment se factorise 6x² + 4x ?

]]> Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les
termes partagent (ici 2 et x), l'extraire, écrire le
reste entre parenthèses. Vérification systématique : le
développement doit redonner l'expression de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x(3x + 2)

]]> Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est
2x : 6x² = 2x × 3x et 4x = 2x × 2.
Contrôle en redéveloppant.

]]> x(6x + 4)

]]> Factorisation incomplète : le 2 commun à 6 et 4
peut encore sortir : on extrait toujours le facteur
maximal.

]]> 2x(3x + 4)

]]> Contrôle : 2x × 4 = 8x ≠ 4x : après
extraction de 2x, il reste 2, pas 4.

]]> 10x³

]]> Erreur : additionner 6x² + 4x en un seul terme est
impossible (degrés différents) : factoriser = mettre en
produit.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q18 : Développer $(x - 4)^2$ Quel est le développement de (x - 4)² ?

]]> (a - b)² = a² - 2ab + b² : trois termes, jamais deux.
Le contrôle par une valeur (x = 4 donne 0) démasque
immédiatement les développements faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² - 8x + 16

]]> Bonne réponse : (a - b)² = a² - 2ab + b² : le
double produit vaut -2 × x × 4 = -8x, et le
carré de -4 est +16.

]]> x² + 16

]]> L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas
la différence des carrés : le double produit -8x est
obligatoire (testez x = 4 : (0)² = 0 ≠ 32).

]]> x² - 16

]]> Confusion : x² - 16 = (x-4)(x+4) : c'est l'identité
a² - b², pas le carré de (x - 4).

]]> x² - 8x - 16

]]> Dernier signe : (-4)² = +16 : un carré est toujours
positif.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q19 : Inconnues des deux côtés Quelle est la solution de 3x - 2 = x + 6 ?

]]> Avec des x des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un
côté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de
tout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et
TOUJOURS contrôler dans l'équation de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 4

]]> Bonne réponse : regrouper les x à gauche (3x - x = 2x), les nombres à droite (6 + 2 = 8) : 2x = 8,
x = 4. Contrôle : 12 - 2 = 10 = 4 + 6 ✓.

]]> x = 2

]]> Contrôle : 3 × 2 - 2 = 4 mais 2 + 6 = 8 : pas
égaux. Erreur probable : 6 - 2 = 4 divisé par... les
transferts de termes demandent de changer les signes.

]]> x = 8

]]> Division oubliée : 2x = 8 donne x = 4 : le
coefficient 2 se retire en dernier.

]]> x = 1

]]> Contrôle : 3 - 2 = 1 mais 1 + 6 = 7 : le
regroupement correct donne 2x = 8.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q20 : Racine d'une somme Que vaut √9 + 16 ?

]]> La racine respecte les produits (√ab = √a√b) mais jamais les sommes : √9 + 16 = 5 alors que √9 + √16 = 7. Ce contre-exemple
à 3-4-5 est à garder en réserve.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : √9 + 16 = √25 = 5 : on
additionne D'ABORD sous la racine.

]]> 7

]]> Le piège visé : √9 + √16 = 3 + 4 = 7,
mais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :
√a + b ≠ √a + √b.

]]> 12{,}5

]]> Erreur : 25/2 ne correspond à rien : la
racine de 25 est le nombre positif dont le carré vaut
25 : c'est 5.

]]> 625

]]> Sens inverse : 625 = 25² élève au carré au lieu de
prendre la racine.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q21 : Évaluer une expression en $x = -2$ Que vaut l'expression x² - 3x pour x = -2 ?

]]> Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :
(-2)² = 4, -3 × (-2) = +6. La moitié des erreurs
de calcul littéral sont des parenthèses omises autour des
négatifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : (-2)² - 3 × (-2) = 4 + 6 = 10 :
le carré efface le signe, et « moins fois moins » donne
plus.

]]> -2

]]> Deux erreurs de signe : (-2)² = +4 (pas -4) et -3 × (-2) = +6 (pas -6).

]]> 2

]]> Erreur sur le double produit : -3 × (-2) = +6 :
on obtient 4 + 6, pas 4 - 2.

]]> -10

]]> Signe global : les deux termes sont positifs (4
et 6) : total +10.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q22 : Équation avec une fraction Quelle est la solution de x/3 - 2 = 4 ?

]]> Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur
application : le -2 d'abord (opération la plus externe),
la division par 3 ensuite. Chaque geste s'applique aux
DEUX membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 18

]]> Bonne réponse : x/3 = 6 (ajouter 2), puis
x = 18 (multiplier par 3). Contrôle : 18/3 - 2 = 4 ✓.

]]> x = 6

]]> Multiplication oubliée : 6 est la valeur de
x/3 : il reste à multiplier par 3.

]]> x = 2

]]> Erreur : 4 + 2/3 = 2 divise au lieu de
multiplier : pour défaire une division par 3, on
multiplie par 3.

]]> x = 4/3 + 2

]]> Ordre : le -2 se neutralise en premier (sur les deux
membres entiers), la division par 3 en dernier : x = 6 × 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q23 : Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ L'égalité (a + b)² = a² + b² est-elle vraie pour tous
réels a et b ?

]]> (a + b)² = a² + 2ab + b² : le double produit n'est pas
une option. Un contre-exemple numérique (une seconde de
calcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe
à cultiver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : (1 + 1)² = 4 alors que 1² + 1² = 2 : il
manque le double produit 2ab

]]> Bonne réponse : le carré d'une somme vaut a² + 2ab + b² : l'égalité proposée n'est vraie que si 2ab = 0
(l'un des deux est nul).

]]> Oui : le carré se distribue sur l'addition

]]> Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur
les produits ((ab)² = a²b²), jamais sur les
sommes : contre-exemple a = b = 1.

]]> Oui, pour a et b positifs

]]> Erreur : a = b = 1 sont positifs et l'égalité échoue
(4 ≠ 2) : le signe n'y change rien.

]]> Non, sauf pour a = b

]]> Erreur : a = b = 1 donne justement 4 ≠ 2 : le
seul salut est ab = 0.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q24 : Traduire un programme de calcul Programme : « choisir un nombre, lui ajouter 3, mettre le
résultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme
appliqué à x ?

]]> Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la
précédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.
Tester avec un nombre concret (x = 1 : 1 → 4 → 16)
départage les candidats en quelques secondes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x + 3)²

]]> Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le
carré s'applique au résultat entier : les parenthèses
traduisent l'ordre des étapes.

]]> x² + 3

]]> Ordre inversé : x² + 3 met au carré puis ajoute
3 : le programme fait l'inverse. (Test avec x = 1 :
16 contre 4.)

]]> x + 3²

]]> Erreur : ici le carré ne porte que sur le 3 : x + 9 :
le programme élève au carré tout le résultat.

]]> 2(x + 3)

]]> Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par
lui-même (u²), pas par 2.

]]>