$course$/QCM de maths/Seconde/Croisement de deux variables qualitatives Tableaux croisés d'effectifs, fréquences marginales et fréquences
conditionnelles, inversion du conditionnement (« parmi les X,
quelle part de Y » contre « parmi les Y, quelle part de X »),
lecture et complétion de tableaux, situation type « faux
positifs ».

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q01 : Fréquence marginale Dans un lycée de 100 élèves, on compte 60 filles, dont
24 demi-pensionnaires. Quelle est la fréquence
marginale des filles ?

]]> Dans un tableau croisé, les fréquences marginales se
lisent sur les marges (totaux de lignes ou de colonnes)
rapportées au total général : filles = 60/100 = 60\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60\ %

]]> Bonne réponse : la fréquence marginale rapporte l'effectif
d'une modalité au total général : 60/100.

]]> 24\ %

]]> Erreur : 24\ % est la fréquence de l'intersection
« fille et demi-pensionnaire ». La marginale des
filles ignore l'autre variable : 60/100.

]]> 40\ %

]]> Erreur : 40\ % est la fréquence marginale des
garçons. Les filles représentent 60\ %.

]]> 24/60 = 40\ %

]]> Erreur : 24/60 est une fréquence
conditionnelle (la part de demi-pensionnaires parmi
les filles), pas une marginale.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q02 : Fréquence conditionnelle Toujours dans ce lycée (60 filles dont 24
demi-pensionnaires), quelle est la proportion de
demi-pensionnaires parmi les filles ?

]]> Fréquence conditionnelle : l'expression « parmi les X » donne
le dénominateur. Parmi les filles :
24/60 = 40\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24/60 = 40\ %

]]> Bonne réponse : « parmi les filles » restreint l'ensemble
de référence aux 60 filles : 24 sur 60.

]]> 24/100 = 24\ %

]]> Erreur de référence : 24/100 rapporte au lycée entier
(fréquence de l'intersection). « Parmi les filles »
impose de diviser par 60.

]]> \dfrac{24}{44} \approx 54{,}5\ \%

]]> Conditionnement inversé : 24/44 est la part de filles
parmi les demi-pensionnaires. La question conditionne
par les filles, pas par la demi-pension.

]]> 60/24 = 250\ %

]]> Fraction renversée (une proportion ne dépasse jamais
100\ %) : l'effectif de la sous-catégorie va au
numérateur.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q03 : Que représente ce quotient ? Dans le même lycée (44 demi-pensionnaires dont 24
filles), que représente le quotient 24/44 ?

]]> Lire un quotient d'effectifs : 24/44 = part de
l'intersection (filles demi-pensionnaires) dans le groupe du
dénominateur (les demi-pensionnaires) : environ
54{,}5\ \%.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La proportion de filles parmi les demi-pensionnaires

]]> Bonne réponse : le dénominateur 44 est l'effectif des
demi-pensionnaires : on regarde la composition de ce
groupe.

]]> La proportion de demi-pensionnaires parmi les filles

]]> Conditionnement inversé : cette proportion serait
24/60 = 40\ %. Le dénominateur dit toujours
« parmi qui » on se place.

]]> La proportion de filles demi-pensionnaires dans le lycée

]]> Erreur : cette proportion rapporte au total :
24/100 = 24\ %. Ici on divise par 44, pas
par 100.

]]> Le nombre moyen de repas des filles

]]> Hors sujet : aucun comptage de repas dans ces données. Le
quotient compare deux effectifs du tableau croisé.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q04 : Fréquence de l'intersection Quelle est la proportion, dans tout le lycée (100 élèves),
des élèves qui sont à la fois filles et
demi-pensionnaires ?

]]> Trois niveaux de lecture d'un tableau croisé : la case
(intersection : 24/100), la marge (marginale : 60/100 ou
44/100), et la case rapportée à sa marge (conditionnelle :
24/60 ou 24/44).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24\ %

]]> Bonne réponse : l'effectif de la case « fille et
demi-pensionnaire » (24) rapporté au total (100).

]]> 40\ %

]]> Erreur : 40\ % = 24/60 est la fréquence
conditionnelle parmi les filles. Ici la référence est
le lycée entier.

]]> 44\ %

]]> Erreur : 44\ % est la fréquence marginale des
demi-pensionnaires (filles et garçons confondus).

]]> 84\ %

]]> Erreur : additionner 60\ % et 24\ % n'a pas de
sens ; l'intersection se lit dans une case du tableau,
pas en sommant des colonnes.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q05 : Traduire une phrase en fréquence Quelle phrase correspond exactement au calcul
24/60 = 40\ % dans notre lycée ?

]]> Travail sur la langue (au programme) : dans « p\ % des X
sont Y », le groupe X est l'ensemble de référence
(dénominateur). Inverser X et Y change le nombre : c'est
l'inversion du conditionnement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « 40\ % des filles sont demi-pensionnaires »

]]> Bonne réponse : « des filles » signale que l'ensemble de
référence est celui des filles (60), et 24 d'entre
elles sont demi-pensionnaires.

]]> « 40\ % des demi-pensionnaires sont des filles »

]]> Inversion : cette phrase correspondrait à \dfrac{24}{44}
\approx 54{,}5\ \%. « Des demi-pensionnaires » ferait de
44 le dénominateur.

]]> « 40\ % des élèves sont des filles demi-pensionnaires »

]]> Erreur : « des élèves » renvoie au total 100 : cette
phrase correspondrait à 24\ %.

]]> « 40\ % des filles mangent à la maison »

]]> Contresens : 40\ % est la part des filles
demi-pensionnaires ; celles qui ne le sont pas
représentent 60\ % des filles.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q06 : Compléter le tableau croisé Dans notre lycée : 100 élèves, 60 filles, 44
demi-pensionnaires, dont 24 filles. Combien y a-t-il de
garçons non demi-pensionnaires ?

]]> Un tableau croisé se complète par différences avec les marges :
chaque ligne et chaque colonne doit sommer à son total. Ici la
case cherchée vaut 40 - 20 = 20 (ou 56 - 36 = 20 :
double contrôle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20

]]> Bonne réponse : garçons = 100 - 60 = 40 ; garçons
demi-pensionnaires = 44 - 24 = 20 ; garçons non
demi-pensionnaires = 40 - 20 = 20.

]]> 40

]]> Incomplet : 40 est le total des garçons ; la moitié
d'entre eux (20) sont demi-pensionnaires, il en reste
20.

]]> 36

]]> Erreur : 36 = 60 - 24 compte les filles non
demi-pensionnaires. Attention à la ligne du tableau.

]]> 56

]]> Erreur : 56 = 100 - 44 est le total des non
demi-pensionnaires (filles comprises). Il faut croiser
avec le sexe : 56 - 36 = 20 garçons.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q07 : Définition d'une fréquence Dans une série statistique, comment se calcule la fréquence
d'une modalité ?

]]> Fréquence = effectif/total : c'est
le passage aux proportions qui rend comparables des groupes de
tailles différentes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc effectif de la modalité/effectif total

]]> Bonne réponse : la fréquence est une proportion, toujours
comprise entre 0 et 1 (ou 0 et 100\ %).

]]> effectif total/effectif de la modalité

]]> Fraction renversée : ce quotient dépasse 1, ce n'est
pas une proportion.

]]> L'effectif de la modalité, tout simplement

]]> Erreur : l'effectif est un nombre brut (24
élèves) ; la fréquence le rapporte au total pour permettre
les comparaisons (24\ %).

]]> Le nombre de modalités de la variable

]]> Hors sujet : le nombre de modalités décrit la variable
(par exemple deux : fille/garçon), pas la répartition des
individus.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q08 : Somme de fréquences conditionnelles Parmi les filles du lycée, 40\ % sont demi-pensionnaires.
Quelle est la part des filles non demi-pensionnaires,
parmi les filles ?

]]> Dans un groupe de référence fixé, les fréquences
conditionnelles des modalités d'une variable somment à
100\ % : 40\ % + 60\ % = 100\ % parmi les filles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60\ %

]]> Bonne réponse : au sein d'un même groupe de référence,
les fréquences conditionnelles des modalités
complémentaires somment à 100\ % : 100 - 40 = 60.

]]> 44\ %

]]> Erreur : 44\ % est la fréquence marginale des
demi-pensionnaires dans le lycée : rien à voir avec la
répartition interne aux filles.

]]> 36\ %

]]> Erreur : 36 est l'effectif des filles non
demi-pensionnaires ; leur part parmi les 60 filles vaut
36/60 = 60\ %.

]]> On ne peut pas savoir sans le tableau complet

]]> Erreur : le complémentaire suffit : dans le groupe des
filles, être ou ne pas être demi-pensionnaire se partage
100\ %.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q09 : De la fréquence à l'effectif Dans un autre établissement de 200 élèves, 30\ % des
élèves sont à la fois internes et sportifs. Combien d'élèves
cela représente-t-il ?

]]> Effectif = fréquence × total : 0{,}3 \times 200 =
60. Toujours contrôler la vraisemblance (un effectif ne peut
pas dépasser le total).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60 élèves

]]> Bonne réponse : 30\ % de 200 vaut 0{,}3 \times 200
= 60.

]]> 30 élèves

]]> Erreur : 30 serait l'effectif si le total était 100.
Ici le total est 200 : 0{,}3 \times 200 = 60.

]]> 70 élèves

]]> Erreur : 70\ % est la fréquence complémentaire ;
et l'effectif demandé se calcule en multipliant la
fréquence par le total.

]]> 600 élèves

]]> Erreur de virgule : 0{,}3 \times 200 = 60, pas 600
(qui dépasserait l'effectif du lycée !).

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q10 : Somme des fréquences marginales Dans un tableau croisé « sexe × régime », que vaut la
somme des fréquences marginales des modalités du sexe (filles
+ garçons) ?

]]> Cohérences d'un tableau croisé : les fréquences marginales de
chaque variable somment à 100\ %, et chaque case somme dans
sa ligne et sa colonne. Ces contrôles détectent les erreurs de
calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 100\ %

]]> Bonne réponse : chaque élève est compté exactement une
fois dans l'une des modalités : les marginales d'une même
variable somment au total.

]]> 200\ %, car il y a deux variables

]]> Erreur : les marges d'une variable se partagent les
100\ % ; l'autre variable a ses propres marges, qui
somment aussi à 100\ %.

]]> Cela dépend du nombre de demi-pensionnaires

]]> Erreur : la répartition filles/garçons ne dépend pas de
l'autre variable : ses fréquences somment toujours à
100\ %.

]]> 50\ %

]]> Erreur : 50\ % supposerait une répartition
moitié-moitié, ce qui n'a rien d'automatique. C'est la
somme des marginales qui vaut 100\ %.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q11 : La situation des « faux positifs » Sur 100 personnes, 10 sont malades. Un test dépiste 9
des 10 malades (positifs) mais se déclenche aussi, à tort,
chez 9 personnes saines. Parmi les personnes dont le test
est positif, quelle est la proportion de personnes réellement
malades ?

]]> Situation type du programme (vocabulaire des tests) : le
tableau croisé donne positifs = 9 + 9 = 18, dont 9
malades : 50\ %. Distinguer « positifs parmi les malades »
(90\ %) et « malades parmi les positifs » (50\ %) : deux
conditionnements inverses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 50\ %

]]> Bonne réponse : positifs = 9 + 9 = 18, dont 9
malades : 9/18 = 50\ %. Un test « fiable à
90\ % » ne donne qu'une chance sur deux d'être malade
quand il est positif : c'est l'effet de la rareté de la
maladie.

]]> 90\ %

]]> Inversion du conditionnement : 90\ % est la part de
positifs parmi les malades (9/10). La question
demande la part de malades parmi les positifs
(9/18).

]]> 9\ %

]]> Erreur : 9\ % est la fréquence des vrais positifs dans
la population totale (9/100). La référence demandée est
le groupe des 18 positifs.

]]> 18\ %

]]> Erreur : 18\ % est la proportion de tests positifs
dans la population (18/100), pas la composition du
groupe des positifs.

]]> Croisement de deux variables qualitatives — Q12 : Conditionnelle chez les garçons Dans notre lycée, 20 des 40 garçons sont
demi-pensionnaires. Quelle est la proportion de
demi-pensionnaires parmi les garçons ?

]]> Même variable, groupes de référence différents : demi-pension
chez les filles 40\ %, chez les garçons 50\ %, dans le
lycée 44\ %. Comparer des fréquences conditionnelles, c'est
le cœur de l'analyse d'un tableau croisé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 50\ %

]]> Bonne réponse : 20/40 = 50\ % : un garçon sur
deux est demi-pensionnaire.

]]> 20\ %

]]> Erreur : 20\ % rapporterait l'effectif 20 au total
du lycée (100). « Parmi les garçons » impose le
dénominateur 40.

]]> 45{,}5\ \%

]]> Conditionnement inversé : \dfrac{20}{44} \approx
45{,}5\ \% est la part de garçons parmi les
demi-pensionnaires.

]]> 40\ %

]]> Erreur : 40\ % est la proportion de demi-pensionnaires
parmi les filles. Chez les garçons, le calcul donne
20/40 = 50\ %.

]]>