$course$/QCM de maths/Seconde/Droites du plan Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente
(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,
appartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point
d'intersection, alignement.

]]> Droites du plan — Q01 : Lire la pente Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite
d'équation réduite y = 2x - 1 ?

]]> Équation réduite y = mx + p : m est la pente (variation de
y pour un pas de 1 en x), p l'ordonnée à l'origine.
Ici m = 2, p = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : dans y = mx + p, la pente est m, le
coefficient de x. Chaque pas de 1 vers la droite fait
monter de 2.

]]> -1

]]> Erreur : -1 est l'ordonnée à l'origine p (la
hauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

]]> ½

]]> Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de
x, sans l'inverser : m = 2.

]]> 2x

]]> Erreur de nature : la pente est un nombre fixe, pas
une expression en x.

]]> Droites du plan — Q02 : Équation d'une droite tracée [Figure : Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les
points (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe
l'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1
vers la droite.]

Quelle est l'équation réduite de la droite d tracée
ci-dessous ?

]]> Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement
avec l'axe vertical (p = -1), puis la pente entre deux
points du quadrillage (m = 1 - (-1)/1 - 0 = 2).
D'où y = 2x - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x - 1

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en
-1 (donc p = -1) et monte de 2 entre les deux points
marqués (donc m = 2).

]]> y = x - 1

]]> Erreur de pente : entre (0 ; -1) et (1 ; 1), la
droite monte de 2, pas de 1 : m = 2.

]]> y = 2x + 1

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des
ordonnées en dessous de l'origine, en -1.

]]> y = -2x - 1

]]> Erreur de signe : la droite monte de gauche à droite,
sa pente est positive.

]]> Droites du plan — Q03 : Vecteur directeur d'une droite en équation réduite Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
y = 3x + 2 ?

]]> Pour y = mx + p, le vecteur (1 ; m) est directeur :
« j'avance de 1, je monte de m ». Ici (1 ; 3) (ou
tout multiple non nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(1 ; 3)

]]> Bonne réponse : un pas de 1 en abscisse fait varier
l'ordonnée de la pente m = 3 : le vecteur
(1 ; m) dirige toujours la droite y = mx + p.

]]> u⃗(3 ; 1)

]]> Coordonnées inversées : la pente 3 est la variation
verticale pour 1 d'avance horizontale : (1 ; 3).

]]> u⃗(0 ; 2)

]]> Erreur : (0 ; 2) est vertical, il dirigerait une
droite parallèle à l'axe des ordonnées. Le 2 de
l'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction.

]]> u⃗(3 ; 2)

]]> Erreur : tu as recopié les deux coefficients de
l'équation. La direction ne dépend que de la pente :
(1 ; 3).

]]> Droites du plan — Q04 : Vecteur directeur en équation cartésienne Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
cartésienne 2x - y + 3 = 0 ?

]]> Droite ax + by + c = 0 : vecteur directeur (-b ; a).
Ici a = 2, b = -1 : u⃗(1 ; 2). Vérification par
l'équation réduite y = 2x + 3 : pente 2, directeur
(1 ; 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(1 ; 2)

]]> Bonne réponse : pour ax + by + c = 0, le vecteur
(-b ; a) est directeur : ici (-(-1) ; 2) = (1 ; 2). (Cohérent : l'équation se réécrit
y = 2x + 3, pente 2.)

]]> u⃗(2 ; -1)

]]> Piège : (a ; b) = (2 ; -1) recopie les coefficients
dans l'ordre. Le vecteur directeur les croise :
(-b ; a).

]]> u⃗(2 ; 3)

]]> Erreur : 3 est le terme constant c, qui positionne la
droite mais n'influence pas sa direction.

]]> u⃗(0 ; 0)

]]> Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a
pas de direction).

]]> Droites du plan — Q05 : Un point est-il sur la droite ? Le point A(1 ; 5) appartient-il à la droite d'équation
y = 3x + 2 ?

]]> A(x_A ; y_A) appartient à la droite d'équation
y = mx + p si et seulement si y_A = m x_A + p. Ici
5 = 3 + 2 : oui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 3 × 1 + 2 = 5

]]> Bonne réponse : les coordonnées de A vérifient
l'équation (y_A = 3x_A + 2) : le point est sur la
droite.

]]> Non, car 1 ≠ 5

]]> Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée
(cela ne vaut que pour la droite y = x). On teste
l'équation de cette droite.

]]> Non, car 5 × 3 + 2 = 17 ≠ 1

]]> Erreur de substitution : c'est x = 1 qu'on injecte dans
3x + 2, et on compare le résultat à y = 5. Tu as
échangé les rôles de x et y.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la droite

]]> Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :
remplacer x et y par les coordonnées du point.

]]> Droites du plan — Q06 : Reconnaître des droites parallèles Les droites d₁ : y = 3x + 1 et d₂ : y = 3x - 4
sont-elles parallèles ?

]]> Droites y = mx + p et y = m'x + p' : parallèles
⇔ m = m' (confondues si de plus p = p').
Ici : parallèles strictes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : même pente, ordonnées à l'origine différentes

]]> Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont
parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
Ici m = 3 pour les deux, et 1 ≠ -4 : strictement
parallèles.

]]> Non, car 1 ≠ -4

]]> Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent
seulement les droites d'être confondues. Le
parallélisme se lit sur la pente.

]]> Elles sont confondues

]]> Erreur : confondues exigerait la même équation complète
(même pente et même ordonnée à l'origine). Ici elles
sont distinctes.

]]> Elles sont sécantes au point (3 ; 3)

]]> Erreur : 3x + 1 = 3x - 4 donnerait 1 = -4, impossible.
Deux droites de même pente ne se coupent jamais.

]]> Droites du plan — Q07 : Point d'intersection Quel est le point d'intersection des droites
d₁ : y = 2x - 1 et d₂ : y = -x + 5 ?

]]> Intersection de deux droites en équations réduites : égaler
les expressions de y, résoudre en x, puis calculer y.
2x - 1 = -x + 5 ⇒ x = 2, y = 3 : point
(2 ; 3).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (2 ; 3)

]]> Bonne réponse : on égale les deux expressions :
2x - 1 = -x + 5, d'où 3x = 6, x = 2, puis
y = 2 × 2 - 1 = 3.

]]> (3 ; 2)

]]> Coordonnées inversées : l'équation 3x = 6 donne
l'abscisse x = 2, puis l'ordonnée y = 3.

]]> (6 ; 11)

]]> Erreur : x = 6 vient d'un oubli de division par 3
dans 3x = 6. Et vérifie toujours dans les deux
équations : -6 + 5 = -1 ≠ 11.

]]> Ces droites ne se coupent pas

]]> Erreur : leurs pentes (2 et -1) sont différentes :
elles sont sécantes en exactement un point.

]]> Droites du plan — Q08 : Pente à partir de deux points Quelle est la pente de la droite passant par A(1 ; 2) et
B(3 ; 8) ?

]]> Pente d'une droite par deux points :
m = y_B - y_A/x_B - x_A (variation verticale sur
variation horizontale). Ici m = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : m = y_B - y_A/x_B - x_A = 8 - 2/3 - 1 = 6/2 = 3.

]]> ⅓

]]> Fraction renversée : la pente met la variation des
ordonnées au numérateur :
Δ y/Δ x = 6/2.

]]> 6

]]> Incomplet : 6 = y_B - y_A n'est que la variation
verticale ; il faut la rapporter à la variation
horizontale Δ x = 2.

]]> 10

]]> Erreur : y_B + y_A/x_B - x_A = 10/2 ?
La formule utilise des différences au numérateur comme
au dénominateur.

]]> Droites du plan — Q09 : La droite verticale Quelle équation correspond à une droite verticale
(parallèle à l'axe des ordonnées) ?

]]> Deux familles : les droites non verticales (y = mx + p) et
les verticales (x = c), qui échappent à la forme réduite.
C'est pourquoi l'équation cartésienne ax + by + c = 0 est
plus générale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2

]]> Bonne réponse : tous les points d'abscisse 2, quelle que
soit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a pas
d'équation réduite (y = mx + p), car sa pente serait
infinie.

]]> y = 2

]]> Erreur : y = 2 regroupe les points d'ordonnée 2 :
une droite horizontale (pente nulle).

]]> y = 2x

]]> Erreur : c'est une droite oblique de pente 2 passant par
l'origine ; elle n'est pas verticale.

]]> Une droite verticale n'a pas d'équation

]]> Erreur : elle n'a pas d'équation réduite, mais elle a
bien une équation cartésienne, de la forme x = c.

]]> Droites du plan — Q10 : Signe de la pente et sens de la droite Que peut-on dire de la droite d'équation
y = -0{,}5x + 3 ?

]]> Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction
affine associée : m > 0 croissante, m < 0 décroissante,
m = 0 constante. Ici : décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle descend de gauche à droite (fonction affine
décroissante)

]]> Bonne réponse : pente m = -0{,}5 < 0 : chaque pas vers
la droite fait descendre d'un demi-carreau.

]]> Elle monte de gauche à droite

]]> Erreur : une droite monte quand sa pente est
positive. Ici m = -0{,}5 < 0.

]]> Elle est horizontale

]]> Erreur : horizontale correspond à une pente nulle
(y = 3 par exemple). Ici m = -0{,}5 \neq 0.

]]> Elle passe par l'origine

]]> Erreur : en x = 0, y = 3 ≠ 0 : la droite coupe
l'axe des ordonnées en (0 ; 3).

]]> Droites du plan — Q11 : Trois points alignés ? Les points A(0 ; 1), B(2 ; 4) et C(4 ; 7)
sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés si les droites (AB) et (BC) ont
la même pente (elles partagent déjà B). Ici 3/2
des deux côtés : alignés. Variante : déterminant de
AB⃗ et AC⃗ nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : les pentes de (AB) et de (BC) valent toutes deux
3/2

]]> Bonne réponse : m_{AB} = \dfrac{4-1}{2-0} = \dfrac{3}{2}
et m_{BC} = \dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{3}{2} : mêmes
pentes avec un point commun B, donc même droite.

]]> Non, car AB ≠ BC

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales
(ce serait « B milieu »). On compare les pentes ou
on utilise la colinéarité des vecteurs.

]]> Non, car aucun des trois n'a la même abscisse

]]> Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite
verticale seulement. Une droite oblique traverse
toutes les abscisses.

]]> Oui, car leurs coordonnées sont toutes positives

]]> La conclusion est bonne, l'argument non : le signe des
coordonnées ne dit rien de l'alignement. Seul le calcul
(pentes égales ou déterminant nul) conclut.

]]> Droites du plan — Q12 : De la cartésienne à la réduite Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation
cartésienne 4x + 2y - 6 = 0 ?

]]> Pour passer en équation réduite : isoler y.
4x + 2y - 6 = 0 ⇒ 2y = -4x + 6 ⇒ y = -2x + 3 : pente -2, ordonnée à l'origine 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = -2x + 3

]]> Bonne réponse : 2y = -4x + 6 puis, en divisant par 2 :
y = -2x + 3.

]]> y = 2x - 3

]]> Erreur de signes : en passant 4x et -6 de l'autre
côté, ils changent de signe : 2y = -4x + 6.

]]> y = -4x + 6

]]> Oubli de la division : il reste 2y à gauche. On divise
tout par 2 : y = -2x + 3.

]]> y = -2x - 3

]]> Erreur de signe sur la constante : -(-6)/2 = +3.
Vérifie avec un point : x = 0 donne 2y = 6, donc
y = 3.

]]> Droites du plan — Q13 : Ordonnée à l'origine Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation
y = 3x - 5 ?

]]> y = mx + p : m = pente, p = ordonnée à l'origine
(l'altitude au départ, en x = 0). Les deux nombres se
lisent directement et racontent toute la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -5

]]> Bonne réponse : en x = 0 : y = -5 : la droite coupe
l'axe des ordonnées au point (0\ ;\ -5).

]]> 3

]]> Confusion : 3 est le coefficient directeur (la
pente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant.

]]> 5

]]> Signe perdu : le terme constant est -5 : la droite
coupe l'axe SOUS l'origine.

]]> 5/3

]]> Confusion : 5/3 est l'abscisse où y = 0 (le
point sur l'axe des abscisses) : l'ordonnée à
l'origine se lit en x = 0.

]]> Droites du plan — Q14 : La droite $y = 2$ Que représente l'équation y = 2 dans le plan ?

]]> y = c : horizontale (pente 0) ; x = c : verticale (pas
de pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de
droite, à reconnaître au premier coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite horizontale : tous les points d'ordonnée 2

]]> Bonne réponse : la condition ne porte que sur y : x
est libre : ligne horizontale à hauteur 2, de pente
nulle.

]]> Une droite verticale

]]> Inversé : les verticales s'écrivent x = c (abscisse
fixée) : ici c'est l'ordonnée qui est fixée :
horizontale.

]]> Le seul point (0\ ;\ 2)

]]> Trop pauvre : (1\ ;\ 2), (-7\ ;\ 2)… conviennent
aussi : une équation à une condition dans le plan
dessine une ligne.

]]> La droite passant par l'origine de pente 2

]]> Confusion : cette droite-là s'écrit y = 2x : ici, pas
de x : pente nulle, hauteur constante.

]]> Droites du plan — Q15 : Parallèle passant par un point Quelle est l'équation de la droite parallèle à y = 2x + 1
passant par le point (0\ ;\ 4) ?

]]> Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à
l'origine avec le point donné (immédiat quand le point est
sur l'axe ; sinon résoudre y_A = m x_A + p).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x + 4

]]> Bonne réponse : parallèles = même pente (2) ; le point
(0\ ;\ 4) est sur l'axe des ordonnées : p = 4
directement.

]]> y = 4x + 1

]]> Rôles inversés : le parallélisme conserve la pente
(2), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui
s'ajuste au point.

]]> y = 2x + 1

]]> Point ignoré : cette droite passe par (0\ ;\ 1), pas
par (0\ ;\ 4) : il faut ajuster la constante.

]]> y = -½x + 4

]]> Erreur : -½ construirait une
perpendiculaire (notion de première) : parallèle = MÊME
coefficient directeur.

]]> Droites du plan — Q16 : Droite par un point et une pente Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient
directeur -2 passant par A(0\ ;\ 3) ?

]]> Équation réduite y = mx + p : deux paramètres, deux
informations nécessaires (pente + un point, ou deux points).
Quand le point est (0\ ;\ p), tout est déjà donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = -2x + 3

]]> Bonne réponse : pente -2 donnée, et A sur l'axe des
ordonnées fournit p = 3 : l'équation s'assemble
directement.

]]> y = 3x - 2

]]> Rôles échangés : la pente (-2) multiplie x ;
l'ordonnée à l'origine (3) est le terme constant.

]]> y = -2x - 3

]]> Signe : A(0\ ;\ 3) impose p = +3 (la droite coupe
l'axe à +3).

]]> y = 2x + 3

]]> Signe de la pente : le coefficient directeur donné est
-2 : la droite descend.

]]> Droites du plan — Q17 : Intersection par le calcul Où se coupent les droites y = x + 1 et y = -x + 5 ?

]]> Intersection : égaler les deux expressions de y, résoudre
en x, remonter à y. Vérifier dans l'autre équation :
le point doit satisfaire les deux à la fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point (2\ ;\ 3)

]]> Bonne réponse : égaler : x + 1 = -x + 5 donne 2x = 4, x = 2, puis y = 3. Contrôle dans la seconde :
-2 + 5 = 3 ✓.

]]> Au point (3\ ;\ 2)

]]> Coordonnées échangées : x = 2 d'abord (la solution de
l'équation), y = 3 ensuite (son image).

]]> Elles ne se coupent pas

]]> Erreur : pentes 1 et -1 différentes : les
droites ne sont pas parallèles : intersection garantie
(et unique).

]]> Au point (2\ ;\ 0)

]]> Ordonnée non calculée : en x = 2, les deux droites
passent à y = 3, pas à 0.

]]> Droites du plan — Q18 : Équation d'une droite par deux points Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
A(1\ ;\ 2) et B(3\ ;\ 8) ?

]]> Par deux points : 1) pente m = y_B - y_A/x_B - x_A ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications
gratuites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 3x - 1

]]> Bonne réponse : pente m = 8 - 2/3 - 1 = 3,
puis A donne 2 = 3 × 1 + p, soit p = -1.
Contrôle avec B : 3 × 3 - 1 = 8 ✓.

]]> y = 3x + 2

]]> Ordonnée bâclée : p n'est pas l'ordonnée de A (sauf
si x_A = 0) : on résout 2 = 3 + p, donc p = -1.

]]> y = ⅓x - 1

]]> Pente renversée : m = Δ y/Δ x = 6/2 = 3 (les ordonnées au numérateur).

]]> y = 6x - 4

]]> Erreur : 6 est l'écart des ordonnées seul : la pente
le divise par l'écart des abscisses (2) : m = 3.

]]>