$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions de référence et tableaux de signes Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :
ensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction
affine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,
équations et inéquations du type x² = a, x² ≤ a.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q01 : La courbe de la fonction carré Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction
carré x ↦ x², et quelle est son allure ?

]]> Images mentales à connaître : carré = parabole (sommet O,
vers le haut) ; inverse = hyperbole ; racine = demi-parabole
couchée ; cube = courbe en S ; valeur absolue = V.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une parabole de sommet l'origine, tournée vers le haut

]]> Bonne réponse : la parabole passe par l'origine (son
minimum) et remonte symétriquement des deux côtés.

]]> Une hyperbole en deux branches

]]> Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction
inverse, avec ses deux branches séparées par les axes.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Erreur : les droites représentent les fonctions
linéaires (x ↦ ax). Le carré n'est pas
proportionnel : sa courbe s'incurve.

]]> Une demi-parabole partant de l'origine

]]> Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la
courbe de la racine carrée, définie seulement sur
[0 ; +∞[.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q02 : Reconnaître une courbe de référence [Figure : Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une
branche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe
des abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur
gauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche
jamais les axes.]

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.
Laquelle ?

]]> Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de x),
points de repère (1 ; 1) et (-1 ; -1), valeur
interdite 0, symétrie par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction inverse x ↦ 1/x

]]> Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par
(1 ; 1) et (-1 ; -1), jamais définie en 0, les
axes pour asymptotes.

]]> La fonction carré x ↦ x²

]]> Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,
entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

]]> La fonction racine carrée x ↦ √x

]]> Erreur : la racine carrée n'existe que pour x ≥ 0 :
sa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans
partie négative.

]]> La fonction cube x ↦ x³

]]> Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et
traverse l'origine ; ici la courbe évite 0 et se casse
en deux branches.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q03 : Ensemble de définition de l'inverse Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse
x ↦ 1/x ?

]]> Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur
absolue : ℝ ; inverse : ℝ privé de 0 ;
racine carrée : [0 ; +∞[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf 0 (la
division par zéro n'existe pas).

]]> ℝ

]]> Erreur : 1/0 n'existe pas : il faut retirer
0.

]]> ]0 ; +∞[

]]> Trop restrictif : les négatifs ont un inverse
(\frac{1}{-2} = -0{,}5). C'est la racine carrée qui
exige du positif.

]]> ℝ privé de 1

]]> Erreur : 1 a très bien un inverse (lui-même). La seule
valeur interdite est 0.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q04 : Ensemble de définition de la racine carrée Quel est l'ensemble de définition de la fonction
x ↦ √x ?

]]> √x est défini pour x ≥ 0 : domaine
[0 ; +∞[, borne 0 comprise. La courbe part de
l'origine et monte de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans
ℝ, mais √0 = 0 existe : 0 est inclus
(crochet fermé).

]]> ]0 ; +∞[

]]> Presque : √0 = 0 existe parfaitement. C'est
l'inverse qui exclut 0, pas la racine.

]]> ℝ

]]> Erreur : √-4 n'existe pas dans ℝ :
aucun réel au carré ne donne -4.

]]> [1 ; +∞[

]]> Erreur : \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 existe très bien. La
seule contrainte est x ≥ 0.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q05 : Symétrie de la parabole La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à
quel objet ?

]]> (-x)² = x² : la fonction carré prend les mêmes valeurs en
x et -x, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à
l'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques
par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : (-x)² = x² : deux abscisses opposées
ont la même image, la parabole se reflète dans l'axe
vertical.

]]> L'origine du repère

]]> Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise
les courbes de l'inverse et du cube
((-x)³ = -x³).

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être
symétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque x
n'a qu'une image).

]]> La droite d'équation y = x

]]> Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées
(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas
la symétrie de la parabole.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q06 : Cube d'un négatif Que vaut (-2)³ ?

]]> Le cube conserve le signe : x³ > 0 si x > 0, x³ < 0 si
x < 0. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en
passant du négatif au positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -8

]]> Bonne réponse : (-2) × (-2) × (-2) = 4 × (-2) = -8. Le cube conserve le signe.

]]> 8

]]> Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat
négatif. C'est le carré (deux facteurs) qui efface le
signe.

]]> -6

]]> Erreur : -6 = -2 × 3 confond puissance et
multiplication. (-2)³ multiplie -2 par lui-même trois
fois.

]]> 6

]]> Double erreur : ni la valeur (2³ = 8, pas 6) ni le
signe (le cube d'un négatif est négatif).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q07 : Signe d'un produit de facteurs affines Sur quel intervalle le produit (x - 1)(x + 2) est-il
strictement négatif ?

]]> Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur
change de signe à sa racine (-2 et 1), et le produit est
négatif là où les signes diffèrent : sur ]-2 ; 1[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur ]-2 ; 1[

]]> Bonne réponse : entre les racines -2 et 1, les deux
facteurs sont de signes contraires (x + 2 > 0 et
x - 1 < 0) : produit négatif.

]]> Sur ]1 ; +∞[

]]> Erreur : au-delà de 1, les deux facteurs sont
positifs : produit positif. Le tableau de signes le montre
colonne par colonne.

]]> Sur ]-∞ ; -2[

]]> Erreur : avant -2, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif (moins par moins).

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours
positif

]]> Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive entre les racines.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q08 : Signe d'un quotient Quel est le signe de x - 3/x + 1 sur l'intervalle
]-1 ; 3[ ?

]]> Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,
avec en plus une valeur interdite au dénominateur (double
barre dans le tableau). Sur ]-1 ; 3[ :
-/+ = -.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif

]]> Bonne réponse : sur cet intervalle, x + 1 > 0 et
x - 3 < 0 : signes contraires, quotient négatif.

]]> Strictement positif

]]> Erreur : teste x = 0 : -3/1 = -3 < 0. Les
règles de signes d'un quotient sont celles d'un produit.

]]> Nul

]]> Erreur : le quotient ne s'annule qu'en x = 3 (numérateur
nul), qui est exclu de l'intervalle ouvert.

]]> Non défini

]]> Erreur : la seule valeur interdite est x = -1
(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout
ailleurs le quotient existe.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q09 : Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement Combien l'équation x² = 7 admet-elle de solutions, et
comment se lisent-elles sur la parabole ?

]]> Résolution graphique de x² = k : intersection de la
parabole et de la droite y = k. Pour k = 7 > 0 : deux
solutions \pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux solutions, √7 et -√7 : abscisses des
intersections de la parabole avec la droite y = 7

]]> Bonne réponse : la droite horizontale y = 7 coupe la
parabole en deux points symétriques.

]]> Une seule solution, √7

]]> Oubli : la parabole est symétrique, la droite y = 7 la
coupe deux fois : en √7 et en -√7.

]]> Aucune solution, car 7 n'est pas un carré parfait

]]> Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel
positif est le carré de sa racine : (√7)² = 7.

]]> Une infinité de solutions

]]> Erreur : une droite horizontale coupe la parabole en au
plus deux points.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q10 : Résoudre $x^2 \leq 9$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
x² ≤ 9 ?

]]> Pour k > 0 : x² ≤ k ⇔ -√k ≤ x ≤ √k. Ne jamais « prendre la racine » d'une
inégalité sans penser à la branche négative de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-3 ; 3]

]]> Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite
y = 9 ont leurs abscisses entre -3 et 3.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Piège majeur : x ≤ 3 n'équivaut pas à x² ≤ 9 :
pour x = -10, x² = 100 > 9. Les grands négatifs ont
de grands carrés.

]]> [0 ; 3]

]]> Oubli des négatifs : (-2)² = 4 ≤ 9, donc -2 est
solution. La parabole est symétrique.

]]> \{-3\,;\,3\}

]]> Erreur : ces deux nombres résolvent l'équation
x² = 9. L'inéquation large englobe tout l'intervalle
entre eux.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q11 : Comparer des carrés de négatifs On sait que -3 < -2. Comment se comparent (-3)² et
(-2)² ?

]]> Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :
décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur
[0 ; +∞[. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et
l'ordre des carrés s'inversent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-3)² > (-2)² : sur les négatifs, la fonction carré
renverse l'ordre

]]> Bonne réponse : 9 > 4. La fonction carré est
décroissante sur ]-∞ ; 0] : plus un négatif
est loin de zéro, plus son carré est grand.

]]> (-3)² < (-2)², car -3 < -2

]]> Erreur : mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des
nombres positifs. Ici 9 > 4 : l'ordre s'est
inversé.

]]> (-3)² = (-2)², car les signes disparaissent

]]> Erreur : les signes disparaissent mais les grandeurs
restent : 9 ≠ 4.

]]> On ne peut pas comparer des carrés de nombres négatifs

]]> Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires
(9 et 4), parfaitement comparables.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q12 : Résoudre $|x| = 5$ Quelles sont les solutions de l'équation |x| = 5 ?

]]> |x| = k : deux solutions ± k si k > 0, une seule
(0) si k = 0, aucune si k < 0. La courbe en V de la
valeur absolue rend ce compte de solutions visible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5 ou x = -5

]]> Bonne réponse : deux nombres sont à distance 5 de zéro :
5 et -5. Graphiquement, la droite y = 5 coupe le
« V » de la valeur absolue en deux points.

]]> x = 5 seulement

]]> Oubli : |-5| = 5 aussi. La valeur absolue efface le
signe, deux antécédents pour chaque valeur positive.

]]> x = -5 seulement

]]> Erreur : |5| = 5 convient évidemment aussi. L'équation a
deux solutions.

]]> Aucune solution, car une valeur absolue est toujours
positive

]]> Contresens : c'est justement parce que |x| ≥ 0 que
l'équation |x| = 5 (avec 5 > 0) a des solutions :
± 5. (C'est |x| = -5 qui n'en aurait pas.)

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q13 : Signe de $2x - 4$ Quel est le signe de l'expression 2x - 4 selon les
valeurs de x ?

]]> Signe d'une affine ax + b : racine en -b/a,
signe de a après la racine (« signe de a à droite »).
La brique de base de tous les tableaux de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif pour x < 2, nul en 2, positif pour x > 2

]]> Bonne réponse : racine en x = 2 (2x - 4 = 0), et
coefficient directeur positif : signe « - puis + ».

]]> Positif pour x < 2, négatif pour x > 2

]]> Ordre inversé : le coefficient de x est positif
(2) : l'expression monte : négative avant sa racine,
positive après.

]]> Toujours positif

]]> Erreur : en x = 0 : -4 < 0 : toute fonction affine
non constante change de signe en sa racine.

]]> Négatif pour x < 4, positif pour x > 4

]]> Racine fausse : 2x - 4 = 0 \iff x = 2 (diviser 4
par le coefficient 2).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q14 : Comparer des inverses Sachant 0 < a < b, comment se comparent 1/a et
1/b ?

]]> Sur ]0\ ;\ +∞[, la fonction inverse est strictement
décroissante : 0 < a < b ⇒ 1/a > 1/b. Attention : la comparaison échoue si a et
b encadrent 0 (deux branches séparées).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/a > 1/b : l'inverse renverse
l'ordre des positifs

]]> Bonne réponse : la fonction inverse est décroissante sur
]0\ ;\ +∞[ : plus le nombre est grand, plus son
inverse est petit (½ > ⅓).

]]> 1/a < 1/b : l'ordre se conserve

]]> Erreur : testez a = 2, b = 3 : \frac{1}{2} = 0{,}5
> \frac{1}{3} \approx 0{,}33 : passer à l'inverse
RENVERSE les inégalités (entre positifs).

]]> Impossible à comparer sans les valeurs

]]> Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut
pour TOUS les couples 0 < a < b : aucune valeur
nécessaire.

]]> 1/a = 1/b

]]> Erreur : deux nombres distincts ont des inverses
distincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la
même valeur).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q15 : Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ Soit 0 < a < 1. Comment se comparent a² et a ?

]]> Entre 0 et 1 : a² < a (la parabole sous la
diagonale) ; au-delà de 1 : a² > a. Les points de
croisement : 0 et 1. Une image graphique qui évite bien
des erreurs de majoration.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a² < a : le carré rapetisse les nombres entre 0 et
1

]]> Bonne réponse : a² = a × a < a × 1 = a
(multiplier par a < 1 diminue). Exemple : 0{,}5^2 =
0{,}25.

]]> a² > a : un carré est toujours plus grand

]]> Intuition à corriger : elle ne vaut que pour a > 1 :
entre 0 et 1, élever au carré écrase vers zéro
(0{,}1^2 = 0{,}01).

]]> a² = a

]]> Erreur : l'égalité a² = a n'a lieu qu'en a = 0 et
a = 1 : strictement entre les deux, le carré est
strictement plus petit.

]]> Cela dépend de a

]]> Erreur : sur TOUT l'intervalle ]0\ ;\ 1[, la
conclusion est la même : a² < a (la parabole passe
sous la droite y = x).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q16 : Comparer $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$ Sans calculatrice, comment justifier que √3 < √5 ?

]]> Comparer via les variations d'une fonction de référence :
croissante (racine, cube) = ordre conservé ; décroissante
(inverse sur ]0\ ;\ +∞[) = ordre renversé. L'argument
attendu cite la fonction et son sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction racine carrée est strictement croissante :
3 < 5 ⇒ √3 < √5

]]> Bonne réponse : la croissance transporte l'inégalité des
nombres vers leurs racines : aucun calcul de valeurs
approchées nécessaire.

]]> Parce que \sqrt{3} \approx 1{,}73 et \sqrt{5} \approx
2{,}24

]]> Justification faible : les valeurs approchées viennent
de la calculatrice : l'argument de cours est la
croissance de la fonction racine.

]]> On ne peut pas : les racines ne se comparent pas

]]> Erreur : la croissance de √\ permet justement
de comparer les racines par leurs radicandes.

]]> C'est faux : √3 > √5

]]> Erreur : la racine conserve l'ordre (croissante) :
l'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q17 : Résoudre $x^3 = -8$ Combien de solutions réelles a l'équation x³ = -8 ?

]]> Contraste carré/cube : x² = k > 0 : deux solutions ;
x³ = k : toujours UNE solution, du signe de k (cube
strictement croissant sur ℝ). La parité de
l'exposant fait toute la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : x = -2

]]> Bonne réponse : (-2)³ = -8, et la fonction cube,
strictement croissante sur ℝ, ne repasse
jamais deux fois par la même valeur : solution unique.

]]> Deux : x = 2 et x = -2

]]> Réflexe du carré transposé à tort : 2³ = +8 ≠ -8 :
le cube conserve le signe : une seule solution.

]]> Aucune : un cube n'est jamais négatif

]]> Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est
négatif ((-2)³ = -8) : la fonction cube atteint tous
les réels.

]]> x = -8/3

]]> Erreur : diviser par 3 ne défait pas un cube : on
cherche le nombre dont le CUBE vaut -8 : c'est -2.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q18 : Parabole et diagonale sur $[0\ ;\ 1]$ Sur l'intervalle [0\ ;\ 1], comment se situe la courbe de
y = x² par rapport à la droite y = x ?

]]> Position relative = signe de la différence : x² - x = x(x - 1), négatif entre ses racines 0 et 1. La même
étude redonne a² < a pour 0 < a < 1 : deux habits d'un
même fait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En dessous (elles se touchent en 0 et en 1)

]]> Bonne réponse : x² - x = x(x - 1) ≤ 0 sur
[0\ ;\ 1] (produit d'un positif et d'un négatif) : la
parabole plonge sous la diagonale entre les deux points
de contact.

]]> Au-dessus

]]> Erreur : en x = 0{,}5 : 0{,}25 < 0{,}5 : la
parabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus
après 1).

]]> Elles ne se rencontrent jamais

]]> Erreur : x² = x en x = 0 et x = 1 : deux points
communs, bornes exactes de l'intervalle.

]]> Elles sont confondues sur cet intervalle

]]> Erreur : x² = x seulement aux deux extrémités :
entre les deux, l'écart x - x² est strictement
positif (maximal en 0{,}5).

]]>