$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions, images et antécédents Vocabulaire des fonctions : image, antécédent, ensemble de définition,
courbe représentative. Calculs d'images et d'antécédents à partir d'une
formule, d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q01 : Lire une égalité $f(2)=5$ Soit f une fonction. Que signifie l'égalité f(2) = 5 ?

]]> Dans l'écriture f(2)=5 : le nombre qui entre (2) a pour
image le nombre qui sort (5), et 2 est un antécédent
de 5. Le sens de lecture ne s'inverse jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'image de 2 par f est 5

]]> Bonne réponse : f(2) désigne l'image de 2 par la fonction
f. On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 5.

]]> L'image de 5 par f est 2

]]> Erreur d'inversion : l'image de 5 s'écrirait f(5). Ici
c'est bien 2 qui entre dans la fonction, et 5 qui en sort.

]]> f(5) = 2

]]> Erreur : rien ne permet d'échanger les rôles de 2 et 5.
En général f(5) n'a aucune raison de valoir 2.

]]> 5 est un antécédent de 2 par f

]]> Erreur d'inversion du vocabulaire : c'est 2 qui est un
antécédent de 5, car f transforme 2 en 5.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q02 : Calculer une image Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x - 5.
Quelle est l'image de 4 par f ?

]]> Calculer l'image de 4, c'est remplacer x par 4 :
f(4) = 3 × 4 - 5 = 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : f(4) = 3 × 4 - 5 = 12 - 5 = 7.

]]> 12

]]> Erreur : tu as calculé 3 × 4 = 12 mais oublié de
soustraire 5. Il faut appliquer toute la formule.

]]> 17

]]> Erreur de signe : 3 × 4 + 5 = 17 correspond à la
fonction x ↦ 3x + 5, pas à 3x - 5.

]]> 3

]]> Erreur : tu as résolu 3x - 5 = 4, c'est-à-dire cherché un
antécédent de 4. On demande l'image de 4 : on
remplace x par 4 dans la formule.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q03 : Calculer un antécédent Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x - 5.
Quel est l'antécédent de 7 par f ?

]]> Un antécédent de 7 est une solution de l'équation f(x) = 7 :
3x - 5 = 7 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : on résout 3x - 5 = 7, soit 3x = 12,
donc x = 4.

]]> 16

]]> Erreur : 3 × 7 - 5 = 16 est l'image de 7.
Chercher un antécédent de 7, c'est résoudre f(x) = 7.

]]> ⅔

]]> Erreur d'algèbre : 7-5/3 = ⅔ vient d'un
mauvais transfert du -5. Dans 3x - 5 = 7, le -5 passe de
l'autre côté en +5 : 3x = 7 + 5 = 12.

]]> -4

]]> Erreur de signe dans la résolution : 3x = 12 donne x = 4,
pas x = -4.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q04 : Nombre d'images d'un nombre Soit f une fonction et a un nombre de son ensemble de
définition. Combien a possède-t-il d'images par f ?

]]> Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition
exactement une image. En revanche, un nombre peut avoir zéro,
un ou plusieurs antécédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : c'est la définition même d'une fonction.
À chaque nombre de l'ensemble de définition, elle associe
une unique image.

]]> Au plus deux

]]> Erreur : tu confonds avec les antécédents, qui peuvent
être plusieurs (par exemple 9 a deux antécédents par
x ↦ x²). L'image, elle, est toujours unique.

]]> Autant qu'on veut

]]> Erreur : si un même a avait plusieurs images, f ne serait
pas une fonction. C'est le nombre d'antécédents qui peut
varier.

]]> Aucune, sauf si la courbe coupe l'axe des ordonnées

]]> Erreur : tout nombre de l'ensemble de définition a une image,
indépendamment de l'axe des ordonnées.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q05 : Antécédents par la fonction carré Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x².
Quels sont les antécédents de 9 par f ?

]]> Chercher les antécédents de 9, c'est résoudre x² = 9 :
les solutions sont 3 et -3. Pour k > 0, l'équation x² = k
a deux solutions : √k et -√k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 et 3

]]> Bonne réponse : x² = 9 a deux solutions, x = 3 et
x = -3, car (-3)² = 9 aussi.

]]> 3 seulement

]]> Oubli classique : (-3)² = 9 également. Une équation
x² = k avec k > 0 a toujours deux solutions opposées.

]]> 81

]]> Erreur : 81 = 9² est l'image de 9. On demande les
antécédents, c'est-à-dire les solutions de x² = 9.

]]> 4{,}5

]]> Erreur : 9 \div 2 = 4{,}5 n'a rien à voir avec l'équation
x² = 9. Le carré n'est pas une multiplication par 2.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q06 : Lire une image sur la courbe [Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de
sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et
(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f.
Quelle est l'image de 1 par f ?

]]> Pour lire f(1) : on repère x = 1 sur l'axe des abscisses, on
monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du
point atteint. Ici le point est (1 ; 0), donc f(1) = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse 1 est sur
l'axe des abscisses, donc f(1) = 0.

]]> -1

]]> Erreur : -1 est l'image de 0 (le sommet de la courbe est
en (0 ; -1)). Pour lire f(1), on part de x = 1 sur
l'axe des abscisses.

]]> 1

]]> Erreur : tu as relu l'abscisse de départ. L'image se lit sur
l'axe des ordonnées, à la verticale de x = 1.

]]> 3

]]> Erreur : 3 est l'image de 2 (le point (2 ; 3) est sur
la courbe), pas celle de 1.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q07 : Lire des antécédents sur la courbe [Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de
sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et
(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f.
Quels sont les antécédents de 3 par f ?

]]> Pour lire les antécédents de 3 : on trace la droite horizontale
y = 3 et on lit les abscisses des points d'intersection avec
la courbe. Ici, elle coupe \mathcal{C}_f en (-2 ; 3) et
(2 ; 3) : les antécédents sont -2 et 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2 et 2

]]> Bonne réponse : la droite horizontale y = 3 coupe la courbe
en deux points, d'abscisses -2 et 2.

]]> 2 seulement

]]> Oubli : la droite y = 3 coupe aussi la courbe du côté des
abscisses négatives, au point (-2 ; 3).

]]> 3

]]> Erreur : tu cherches les antécédents de 3, c'est-à-dire
les abscisses des points d'ordonnée 3. Le nombre 3 est ici
une ordonnée, pas une abscisse.

]]> 8

]]> Erreur : 8 = f(3) serait l'image de 3 (hors du
graphique). Les antécédents se lisent en coupant la courbe
par la droite horizontale y = 3.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q08 : Courbe représentative Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Qu'est-ce que
la courbe représentative de f dans un repère ?

]]> La courbe représentative de f est l'ensemble des points
M(x ; f(x)) pour tous les x de l'ensemble de définition.
L'équation de la courbe est y = f(x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) pour x
dans I

]]> Bonne réponse : un point M(x ; y) appartient à la courbe
si et seulement si y = f(x).

]]> L'ensemble des points de coordonnées (f(x) ; x) pour x
dans I

]]> Erreur d'inversion : l'abscisse est la variable x, et
l'ordonnée est l'image f(x), pas l'inverse.

]]> Le tableau des valeurs de f

]]> Erreur : un tableau de valeurs ne donne que quelques points ;
la courbe est l'ensemble de tous les points
(x ; f(x)).

]]> La droite qui passe par tous les points où f s'annule

]]> Erreur : les points où f s'annule sont seulement les
intersections de la courbe avec l'axe des abscisses.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q09 : Ensemble de définition Soit f la fonction définie par f(x) = 1/x - 2.
Quel est son ensemble de définition ?

]]> Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non
nul : x - 2 ≠ 0, donc x ≠ 2. L'ensemble de définition
est ℝ privé de 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels sauf 2

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour x = 2, et la
division par zéro est impossible. Partout ailleurs, le calcul
est possible.

]]> ℝ tout entier

]]> Erreur : pour x = 2, le dénominateur vaut 0 et le
quotient n'existe pas. Il faut exclure cette valeur.

]]> Tous les réels sauf -2

]]> Erreur de signe : on résout x - 2 = 0, qui donne x = 2,
pas x = -2.

]]> Les réels strictement supérieurs à 2

]]> Erreur : un quotient existe dès que son dénominateur est non
nul, même s'il est négatif. Tu confonds avec la condition de
la racine carrée.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q10 : Antécédents dans un tableau de valeurs Un tableau de valeurs d'une fonction f donne :
f(-2) = 5, f(-1) = 2, f(0) = 1 et f(1) = 2.

D'après ce tableau, quels sont les antécédents de 2 par f ?

]]> Dans un tableau de valeurs, les antécédents de 2 se trouvent en
repérant 2 dans la ligne des images f(x), puis en lisant les
valeurs de x correspondantes : ici -1 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1 et 1

]]> Bonne réponse : dans la ligne des images, 2 apparaît deux
fois, pour x = -1 et pour x = 1.

]]> -1 seulement

]]> Oubli : il faut balayer toute la ligne des images. La
valeur 2 apparaît aussi dans la colonne de x = 1.

]]> 5

]]> Erreur : 5 est l'image de -2. Pour trouver des
antécédents de 2, on cherche 2 dans la ligne du bas
et on remonte à la ligne du haut.

]]> 2

]]> Erreur : tu as relu le nombre cherché. Les antécédents sont
les valeurs de x dont l'image vaut 2, ici -1 et 1.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q11 : L'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x².
A-t-on toujours f(a + b) = f(a) + f(b) ?

]]> (a+b)² = a² + 2ab + b² : le double produit 2ab empêche
l'égalité f(a+b) = f(a) + f(b) dès que a et b sont non nuls.
Contre-exemple : f(1+1) = 4 ≠ 2 = f(1) + f(1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple f(1+1) = 4 alors que f(1) + f(1) = 2

]]> Bonne réponse : (a+b)² = a² + 2ab + b² n'est en général
pas égal à a² + b². Un seul contre-exemple suffit à
réfuter l'égalité.

]]> Oui, car c'est vrai pour toute fonction

]]> Erreur très répandue : une fonction ne « distribue » pas sur
l'addition. Teste toujours sur des valeurs concrètes avant de
généraliser.

]]> Oui, car f est donnée par une formule

]]> Erreur : avoir une formule ne donne aucune propriété
particulière. Ici (1+1)² = 4 ≠ 1² + 1² = 2.

]]> Non, sauf si a et b sont positifs

]]> Erreur : même pour a et b positifs l'égalité échoue,
comme le montre a = b = 1. Elle n'est vraie que si a ou
b est nul.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q12 : Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement [Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de
sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et
(2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f.
Quelles sont les solutions de l'équation f(x) = 0 ?

]]> Résoudre f(x) = 0 graphiquement, c'est lire les abscisses des
points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses :
ici -1 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -1 et x = 1

]]> Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses aux
points d'abscisses -1 et 1 ; ce sont les solutions de
f(x) = 0.

]]> x = 0

]]> Erreur : en x = 0, la courbe passe par (0 ; -1), donc
f(0) = -1 ≠ 0. Tu as confondu avec le sommet de la
courbe.

]]> x = -1 seulement

]]> Oubli : la courbe traverse l'axe des abscisses deux fois.
Il faut relever toutes les intersections.

]]> (0 ; -1)

]]> Erreur de nature : une solution de f(x) = 0 est un
nombre (une abscisse), pas un point. Et (0 ; -1)
n'est pas sur l'axe des abscisses.

]]>