$course$/QCM de maths/Seconde/Nombres réels et intervalles Ensembles de nombres (ℕ, ℤ, \mathbb{D},
ℚ, ℝ), droite numérique, intervalles et
appartenance, valeur absolue comme distance, inéquations
|x - a| ≤ r, encadrements décimaux et arrondis.

]]> Nombres réels et intervalles — Q01 : Borne ouverte ou fermée Le nombre 5 appartient-il à l'intervalle [2 ; 5[ ?

]]> [2\,;\,5[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 5\} :
borne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue
(crochet ouvert). Donc 2 ∈ [2 ; 5[ mais
5 ∉ [2 ; 5[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le crochet ouvert exclut la borne 5

]]> Bonne réponse : [2 ; 5[ contient les réels x tels
que 2 ≤ x < 5. L'inégalité stricte exclut 5.

]]> Oui : 5 est écrit dans l'intervalle

]]> Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais
n'y appartiennent que si le crochet est fermé (tourné
vers l'intérieur). Ici il est ouvert : 5 exclu.

]]> Oui, car 5 ≥ 2

]]> Incomplet : il faut vérifier les deux conditions.
5 ≥ 2 certes, mais la seconde exige x < 5, ce que
5 ne vérifie pas.

]]> Non, car 5 n'est pas entre 2 et 5

]]> Raison imprécise : 2 appartient bien à l'intervalle (sa
borne est fermée). C'est le crochet ouvert en 5 qui
exclut 5, pas une position « entre ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q02 : Traduire une inégalité en intervalle À quel intervalle correspond la condition x ≥ 3 ?

]]> x ≥ 3 ⇔ x ∈ [3 ; +∞[. Large
(≥, ≤) = crochet fermé sur la borne ; strict
(>, <) = crochet ouvert ; du côté de ±∞, le
crochet est toujours ouvert.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [3 ; +∞[

]]> Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut 3 (crochet
fermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert).

]]> ]3 ; +∞[

]]> Erreur : ce crochet ouvert exclut 3, ce qui traduirait
l'inégalité stricte x > 3.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Sens inversé : cet intervalle contient les nombres
inférieurs ou égaux à 3.

]]> [3 ; +∞]

]]> Notation incorrecte : +∞ n'est pas un nombre, on ne
peut jamais fermer le crochet de son côté.

]]> Nombres réels et intervalles — Q03 : Valeur absolue et distance Pour deux réels x et a, que représente |x - a| ?

]]> |x - a| = distance entre les points d'abscisses x et a.
Cas particulier : |x| = |x - 0| est la distance de x à
0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distance entre x et a sur la droite numérique

]]> Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la
valeur absolue au programme : |5 - 2| = 3, distance
entre 5 et 2.

]]> Le nombre x - a rendu positif seulement si x > 0

]]> Erreur : la valeur absolue rend la différence positive
quel que soit le signe de x : |2 - 5| = 3 aussi.

]]> Le plus grand des deux nombres x et a

]]> Erreur : |x - a| mesure leur écart, pas leur
maximum : |7 - 4| = 3, alors que le plus grand est 7.

]]> Le milieu de x et a

]]> Erreur : le milieu est x + a/2. La valeur
absolue de la différence donne la longueur du segment,
pas son centre.

]]> Nombres réels et intervalles — Q04 : Résoudre $|x| \leq 4$ Quel est l'ensemble des réels x tels que |x| ≤ 4 ?

]]> |x| ≤ r (avec r > 0) ⇔
-r ≤ x ≤ r ⇔ x ∈ [-r ; r] :
l'ensemble des points à distance au plus r de 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-4 ; 4]

]]> Bonne réponse : |x| ≤ 4 signifie « x est à distance
au plus 4 de 0 », donc entre -4 et 4.

]]> [0 ; 4]

]]> Oubli des négatifs : |-3| = 3 ≤ 4, donc -3 est
solution. La distance à 0 ignore le signe.

]]> ]-∞ ; 4]

]]> Erreur : -10 vérifierait x ≤ 4 mais
|-10| = 10 > 4. La valeur absolue borne des deux
côtés.

]]> \{-4\,;\,4\}

]]> Erreur : ces deux nombres sont les solutions de
l'équation |x| = 4. L'inéquation large admet tout
l'intervalle entre eux.

]]> Nombres réels et intervalles — Q05 : La nature de $\dfrac{1}{3}$ Quelle est la nature du nombre ⅓ ?

]]> Emboîtements : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
⅓ ∈ ℚ mais \dfrac{1}{3} \notin
\mathbb{D} : tout rationnel n'est pas décimal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rationnel, mais pas décimal

]]> Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),
mais son écriture décimale 0{,}333\ldots ne s'arrête
jamais : il n'est pas décimal (démonstration au
programme).

]]> Décimal, car il s'écrit 0{,}33

]]> Erreur : 0{,}33 n'est qu'une valeur approchée :
3 \times 0{,}33 = 0{,}99 \neq 1. Aucune écriture décimale
finie n'égale ⅓.

]]> Irrationnel, car son écriture décimale est infinie

]]> Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un
nombre irrationnel. ⅓ est un quotient
d'entiers, donc rationnel (son développement est infini
mais périodique).

]]> Entier, une fois simplifié

]]> Erreur : ⅓ est déjà irréductible et vaut
environ 0{,}33 : ce n'est pas un entier.

]]> Nombres réels et intervalles — Q06 : La nature de $\sqrt{2}$ Quelle est la nature du nombre √2 ?

]]> √2 est réel (constructible géométriquement) mais
irrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les
irrationnels remplissent \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q},
avec π comme autre exemple du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Irrationnel : il n'est le quotient d'aucun couple d'entiers

]]> Bonne réponse : l'irrationalité de √2 est une
démonstration du programme (raisonnement par l'absurde
avec la parité).

]]> Rationnel, car \sqrt{2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}

]]> Erreur : un rationnel est un quotient de deux
entiers ; or √2 au dénominateur n'est pas
entier. Cette écriture ne prouve rien.

]]> Décimal : \sqrt{2} = 1{,}414

]]> Erreur : 1{,}414 est une approximation
(1{,}414^2 = 1{,}999396 \neq 2). Aucun décimal n'a un
carré exactement égal à 2.

]]> Ce n'est pas un nombre réel

]]> Erreur : √2 est parfaitement réel : c'est la
longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, un point
précis de la droite numérique.

]]> Nombres réels et intervalles — Q07 : Encadrement décimal Quel est l'encadrement de π d'amplitude 10⁻² par des
décimaux ?

]]> Encadrer un réel à 10⁻ⁿ près : le placer entre deux
décimaux consécutifs à n chiffres. Pour π :
3{,}14 < \pi < 3{,}15 (amplitude 10⁻²).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}14 < \pi < 3{,}15

]]> Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux
chiffres après la virgule et leur écart vaut exactement
10^{-2} = 0{,}01.

]]> 3{,}1 < \pi < 3{,}2

]]> Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son
amplitude vaut 0{,}1 = 10^{-1}, dix fois trop large.

]]> 3{,}14 < \pi < 3{,}16

]]> Erreur : l'amplitude vaut ici 0{,}02 = 2 \times 10^{-2}.
L'encadrement demandé serre π entre deux décimaux
consécutifs au centième.

]]> \pi = 3{,}14

]]> Erreur : 3{,}14 est une valeur approchée, pas une
égalité : π est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.
D'où l'intérêt des encadrements.

]]> Nombres réels et intervalles — Q08 : Intersection d'intervalles Que vaut l'intersection [1 ; 5] ∩ [3 ; 8] ?

]]> Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de
recouvrement : [1 ; 5] ∩ [3 ; 8] = [3 ; 5]
(du plus grand début au plus petit bout).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [3 ; 5]

]]> Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres
communs, ceux qui vérifient à la fois 1 ≤ x ≤ 5 et
3 ≤ x ≤ 8, soit 3 ≤ x ≤ 5.

]]> [1 ; 8]

]]> Confusion avec la réunion : [1 ; 8] regroupe les
nombres qui sont dans l'un ou l'autre. L'intersection
garde le « et ».

]]> [5 ; 3]

]]> Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent
dans l'ordre croissant. La zone commune est [3 ; 5].

]]> ∅

]]> Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple
4 appartient aux deux). L'intersection est vide
seulement quand ils sont disjoints.

]]> Nombres réels et intervalles — Q09 : Réunion d'intervalles Que vaut la réunion [1 ; 3[ ∪ [3 ; 5] ?

]]> Réunion = tous les nombres appartenant à l'un ou l'autre.
Les deux intervalles se raccordent exactement en 3 :
[1 ; 3[ ∪ [3 ; 5] = [1 ; 5].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [1 ; 5]

]]> Bonne réponse : le nombre 3, exclu du premier
intervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :
aucun trou, la réunion est l'intervalle complet.

]]> [1\,;\,5] \setminus \{3\}

]]> Erreur : 3 appartient bien à la réunion, car
3 ∈ [3 ; 5]. Il suffit d'être dans au moins un
des deux intervalles.

]]> [1 ; 3[

]]> Erreur : la réunion ne garde pas que le premier
intervalle ; elle ajoute tout [3 ; 5].

]]> \{3\}

]]> Confusion avec l'intersection (qui vaudrait d'ailleurs
∅ ici, 3 n'étant pas dans le premier). La
réunion rassemble tout : [1 ; 5].

]]> Nombres réels et intervalles — Q10 : Résoudre $|x - 3| \leq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
|x - 3| ≤ 1 ?

]]> Lecture géométrique (au programme) : |x - a| ≤ r
⇔ x ∈ [a - r ; a + r], intervalle de
centre a et de rayon r. Ici : [2 ; 4].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2 ; 4]

]]> Bonne réponse : |x - 3| ≤ 1 signifie « x à distance
au plus 1 de 3 » : l'intervalle de centre 3 et de
rayon 1, soit [3 - 1 ; 3 + 1].

]]> [-1 ; 1]

]]> Erreur de centre : [-1 ; 1] résout |x| ≤ 1
(distance à 0). Ici la distance se mesure à 3.

]]> ]2 ; 4[

]]> Erreur de bornes : l'inégalité est large (≤),
donc 2 et 4 (à distance exactement 1) sont
solutions : crochets fermés.

]]> [3 ; 4]

]]> Oubli du côté gauche : 2{,}5 vérifie
|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \leq 1. La distance joue des deux
côtés de 3.

]]> Nombres réels et intervalles — Q11 : La chaîne des ensembles de nombres Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?

]]> \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, chaque inclusion étant
stricte : -2 \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N},
0{,}7 \in \mathbb{D}\setminus\mathbb{Z},
\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{D},
\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

]]> Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :
entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels.

]]> ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

]]> Erreur au départ : ℤ contient les négatifs, que
ℕ n'a pas : c'est ℕ ⊂ ℤ.

]]> \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{R}

]]> Erreur au milieu : \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} et non
l'inverse : ⅓ est rationnel sans être
décimal.

]]> ℝ ⊂ ℚ, car tout réel a une
écriture décimale

]]> Erreur : √2 et π sont réels mais pas
rationnels : ℚ est strictement plus petit que
ℝ.

]]> Nombres réels et intervalles — Q12 : Arrondi au centième Quel est l'arrondi au centième du nombre 2{,}4567 ?

]]> Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule
et regarder le troisième : s'il vaut 5 ou plus, on augmente
le dernier chiffre conservé. 2{,}45\underline{6}7 \to
2{,}46.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}46

]]> Bonne réponse : le chiffre suivant (6 ≥ 5) fait
arrondir au-dessus : 2{,}4567 \approx 2{,}46.

]]> 2{,}45

]]> C'est la troncature (on coupe sans regarder la
suite). L'arrondi observe le chiffre suivant : 6, donc
on monte à 2{,}46.

]]> 2{,}5

]]> Erreur de rang : 2{,}5 est l'arrondi au dixième. Au
centième, on garde deux chiffres après la virgule.

]]> 2{,}457

]]> Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est
l'arrondi au millième.

]]> Nombres réels et intervalles — Q13 : La nature de $\pi$ Dans quels ensembles de nombres se trouve π ?

]]> π et √2 : les deux irrationnels de référence :
dans ℝ, hors de ℚ. Leur développement
décimal est infini SANS période : aucune fraction ne les
atteint.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π ∈ ℝ mais π ∉ ℚ :
c'est un irrationnel

]]> Bonne réponse : π ne s'écrit comme aucune fraction
d'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni
décimal, ni entier.

]]> π ∈ ℚ, car π = 22/7

]]> Erreur célèbre : \frac{22}{7} \approx 3{,}142857
n'est qu'une approximation : π n'est égal à
aucune fraction.

]]> \pi \in \mathbb{D}, car \pi = 3{,}14

]]> Erreur : 3{,}14 est un arrondi : les décimales de
π ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas).

]]> π ∉ ℝ : c'est un nombre « spécial »

]]> Erreur : π est un point parfaitement réel de la
droite numérique (entre 3{,}14 et 3{,}15) :
« irrationnel » ne veut pas dire « irréel ».

]]> Nombres réels et intervalles — Q14 : Traduire $x \geq 2$ Quel intervalle traduit la condition x ≥ 2 ?

]]> Inégalité large (≥, ≤) : borne incluse, crochet
fermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.
Trois règles, zéro exception.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : borne 2 incluse (crochet fermé,
car ≥), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est
pas un nombre).

]]> ]2\ ;\ +∞[

]]> Borne exclue à tort : ≥ inclut la valeur 2 :
crochet fermé en 2.

]]> ]-∞\ ;\ 2]

]]> Sens inversé : cet intervalle traduit x ≤ 2 : la
condition ≥ regarde vers la droite.

]]> [2\ ;\ +∞]

]]> Crochet impossible : +∞ n'est pas un nombre : le
crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.

]]> Nombres réels et intervalles — Q15 : $-3$ et les ensembles de nombres Quelle affirmation est correcte au sujet de -3 ?

]]> Emboîtement : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} : un
nombre appartient à son premier étage ET à tous les
suivants. -3 entre en ℤ et monte jusqu'à
ℝ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 ∈ ℤ mais -3 ∉ ℕ

]]> Bonne réponse : ℕ ne contient que les entiers
positifs ou nul ; les négatifs entrent au niveau de
ℤ (entiers relatifs).

]]> -3 ∈ ℕ

]]> Erreur : \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} : aucun
négatif : -3 attend l'étage ℤ.

]]> -3 ∉ ℚ

]]> Erreur : -3 = -3/1 est une fraction d'entiers :
tout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles
s'emboîtent).

]]> -3 ∉ ℝ

]]> Erreur : tout nombre de la droite numérique est réel :
-3 y a sa place, trois unités à gauche de zéro.

]]> Nombres réels et intervalles — Q16 : $\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ? Le nombre ⅐ est-il un nombre décimal ?

]]> Hiérarchie fine : décimal = développement fini ; rationnel =
fini OU périodique ; irrationnel = infini sans période.
\frac{1}{4} = 0{,}25 (décimal), ⅐ (rationnel
non décimal), √2 (irrationnel).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : son écriture décimale 0{,}142857142857\dots ne
s'arrête jamais

]]> Bonne réponse : décimal = un nombre FINI de chiffres
après la virgule : ⅐ boucle sur le motif
142857 sans fin : rationnel, mais pas décimal.

]]> Oui : il a des chiffres après la virgule

]]> Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il
faut qu'elles s'arrêtent (0{,}25 oui,
0{,}142857\dots non).

]]> Oui : toute fraction est décimale

]]> Erreur : seules les fractions dont le dénominateur
(simplifié) n'a que des facteurs 2 et 5 sont
décimales : 7 n'en fait pas partie.

]]> Non : ⅐ est irrationnel

]]> Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc
rationnel : il est non décimal, mais parfaitement
rationnel (ses décimales se répètent).

]]> Nombres réels et intervalles — Q17 : $\in$ ou $\subset$ ? Quelle écriture est correcte ?

]]> ∈ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;
⊂ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test
rapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une
collection ?

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 ∈ ℕ et ℕ ⊂ ℤ

]]> Bonne réponse : ∈ relie un élément à un ensemble
(2 est un nombre), ⊂ relie deux ensembles
(ℕ est contenu dans ℤ).

]]> 2 ⊂ ℕ

]]> Symbole inadapté : 2 est un élément, pas un ensemble :
on écrit 2 ∈ ℕ.

]]> ℕ ∈ ℤ

]]> Symbole inadapté : ℕ est un ensemble : sa
relation à ℤ est l'inclusion ⊂
(tous ses éléments y sont).

]]> Les deux symboles sont interchangeables

]]> Erreur : ils décrivent deux relations de natures
différentes : appartenir (élément-ensemble) et être
inclus (ensemble-ensemble).

]]> Nombres réels et intervalles — Q18 : Comparer $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ Lequel des deux nombres 3/7 et 0{,}43 est le
plus grand ?

]]> Comparer fraction et décimal : mettre au même format
(division posée) ou produit en croix (3 × 100 contre
43 × 7). Les écarts minuscules (300 contre 301)
justifient l'exigence de calcul exact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}43, car \dfrac{3}{7} = 0{,}4285\dots < 0{,}43

]]> Bonne réponse : diviser (ou comparer 3 × 100 et
43 × 7 = 301 : 300 < 301) : la fraction est
légèrement en dessous.

]]> 3/7, car une fraction est plus précise

]]> Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la
taille : seul le calcul compare (0{,}4286 <
0{,}43).

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : 3/7 n'est pas décimal : il ne peut
pas être exactement 0{,}43 (produit en croix : 300 ≠ 301).

]]> 3/7, car 3 + 7 = 10 > 0{,}43

]]> Opération sans sens : additionner numérateur et
dénominateur ne mesure rien : on compare par division ou
produit en croix.

]]>