$course$/QCM de maths/Seconde/Probabilités Modèle probabiliste : loi de probabilité, événement contraire,
équiprobabilité et formule P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}
{\text{Card}(\Omega)}, probabilité conditionnelle P_A(B),
arbres de probabilité (pondérations et multiplication le long
d'un chemin), loi des grands nombres en version vulgarisée.

]]> Probabilités — Q01 : Qu'est-ce qu'une probabilité ? Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un
événement ?

]]> Pour tout événement A : 0 ≤ P(A) ≤ 1. Les valeurs
extrêmes : P = 0 (impossible) et P = 1 (certain).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : une probabilité est toujours un nombre
compris entre 0 (événement impossible) et 1
(événement certain).

]]> 1{,}2

]]> Impossible : aucune probabilité ne dépasse 1 (on ne
peut pas être « plus que certain »).

]]> -0{,}1

]]> Impossible : une probabilité n'est jamais négative ; le
minimum est 0, pour un événement impossible.

]]> 7/5

]]> Impossible : \dfrac{7}{5} = 1{,}4 > 1. Dans une
fraction de probabilité, le numérateur ne peut pas
dépasser le dénominateur.

]]> Probabilités — Q02 : Probabilité de l'événement contraire Soit A un événement de probabilité P(A) = 0{,}3. Que vaut
la probabilité de son contraire Ā ?

]]> P(A) + P(Ā) = 1, donc P(Ā) = 1 - P(A). Réflexe très utile quand le contraire est plus simple
à compter que l'événement lui-même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3
= 0{,}7 : l'un des deux se réalise forcément.

]]> 0{,}3

]]> Erreur : le contraire n'a la même probabilité que si
P(A) = 0{,}5. En général : P(Ā) = 1 - P(A).

]]> -0{,}3

]]> Impossible : une probabilité n'est jamais négative. On
retranche de 1, pas de 0.

]]> \dfrac{1}{0{,}3}

]]> Erreur : l'inverse n'intervient pas ici (et
1/0{,}3 \approx 3{,}3 > 1). La règle est additive :
P(A) + P(Ā) = 1.

]]> Probabilités — Q03 : Un dé équilibré On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la
probabilité d'obtenir un nombre pair ?

]]> En situation d'équiprobabilité : P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}
{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} : nombre
de cas favorables sur nombre de cas possibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/6 = ½

]]> Bonne réponse : issues favorables \{2\,;\,4\,;\,6\},
soit 3 sur 6 issues équiprobables.

]]> ⅙

]]> Erreur : ⅙ est la probabilité d'une
face précise. « Pair » regroupe trois faces : on
additionne leurs probabilités.

]]> ⅓

]]> Erreur de compte : les pairs entre 1 et 6 sont 2,
4 et 6 : trois issues sur six, soit ½.

]]> 2/6

]]> Erreur de compte : il y a trois nombres pairs sur le
dé (2, 4, 6), pas deux.

]]> Probabilités — Q04 : Tirage dans une urne Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues,
indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle
est la probabilité qu'elle soit rouge ?

]]> L'équiprobabilité porte sur les issues élémentaires (les 8
boules). P(rouge) = ⅝. Méfiance envers le
réflexe « deux possibilités donc ½ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅝

]]> Bonne réponse : 5 boules favorables sur 5 + 3 = 8
boules équiprobables.

]]> ½, car il y a deux couleurs

]]> Piège de la fausse équiprobabilité : ce sont les
boules qui sont équiprobables, pas les couleurs. Les
rouges, plus nombreuses, sortent plus souvent.

]]> 5/3

]]> Erreur : 5/3 > 1, impossible pour une
probabilité. Le dénominateur est le total des boules
(8), pas l'effectif de l'autre couleur.

]]> ⅜

]]> Erreur : ⅜ est la probabilité de tirer une
boule bleue. Pour les rouges : ⅝.

]]> Probabilités — Q05 : L'équiprobabilité est une hypothèse Un jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La
probabilité de gagner est-elle nécessairement ½ ?

]]> Point d'insistance du programme : une loi de probabilité est
une hypothèse du modèle choisi (symétrie d'un dé, ou
fréquences observées via la loi des grands nombres) ; elle ne
se déduit pas du simple comptage des issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : l'équiprobabilité est une hypothèse de modèle, pas
une conséquence du nombre d'issues

]]> Bonne réponse : gagner au loto ou perdre au loto sont
deux issues, certainement pas équiprobables. Le choix du
modèle doit se justifier (symétrie, fréquences
observées).

]]> Oui : deux issues, donc une chance sur deux

]]> Erreur fondamentale : compter les issues ne suffit pas,
il faut justifier leur équiprobabilité. Sinon tout serait
à 50\ %, même gagner au loto.

]]> Oui, si le jeu est électronique

]]> Erreur : le support du jeu ne dit rien des probabilités,
qui dépendent de sa conception.

]]> Non : la probabilité de gagner est toujours inférieure à
½

]]> Erreur : rien n'interdit un jeu favorable au joueur. Le
point est qu'on ne peut pas conclure sans information
sur le modèle.

]]> Probabilités — Q06 : Multiplier le long d'un chemin [Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la
branche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à
A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.
Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.]

L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.
Quelle est la probabilité du chemin « A puis B »
(c'est-à-dire de l'événement A ∩ B) ?

]]> Règle de l'arbre : la probabilité d'un chemin est le
produit des pondérations de ses branches :
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 =
0{,}18.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18

]]> Bonne réponse : le long d'un chemin, on multiplie les
pondérations des branches : P(A) × P_A(B).

]]> 0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9

]]> Erreur : additionner conviendrait à des chemins
différents (cas incompatibles). Le long d'un même
chemin, les branches s'enchaînent : on multiplie.

]]> 0{,}6

]]> Incomplet : 0{,}6 = P_A(B) suppose A déjà réalisé.
Le chemin complet exige aussi de passer la première
branche (0{,}3).

]]> 0{,}3

]]> Incomplet : 0{,}3 = P(A) ne mène qu'au premier étage.
Il faut encore la branche A → B (0{,}6).

]]> Probabilités — Q07 : Que signifie $P_A(B)$ ? Que désigne la notation P_A(B) ?

]]> P_A(B) : probabilité de B conditionnée par A
(l'indice porte la condition). Sur un arbre, c'est la
pondération de la branche A → B ; dans un tableau
d'effectifs : \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}
{\text{Card}(A)}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité que B se réalise, sachant que A
est réalisé

]]> Bonne réponse : on se place dans le monde où A a eu
lieu, et on y mesure les chances de B.

]]> La probabilité que A et B se réalisent tous les deux

]]> Erreur : « A et B » se note P(A ∩ B) ; sur
l'arbre, c'est le produit P(A) × P_A(B), pas
la pondération d'une seule branche.

]]> La probabilité que A se réalise sachant B

]]> Inversion : l'indice indique la condition. Dans
P_A(B), c'est A qui est supposé réalisé.

]]> Le produit P(A) × P(B)

]]> Erreur : ce produit n'a pas de statut général. La
conditionnelle se lit sur la deuxième branche de l'arbre,
ou se calcule dans un tableau croisé.

]]> Probabilités — Q08 : Conditionnelle dans un tableau d'effectifs Dans un lycée de 100 élèves, il y a 60 filles, dont 24
demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on
apprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité
qu'elle soit demi-pensionnaire ?

]]> Pont entre statistiques et probabilités (au programme) : le
tirage au sort d'un individu fait des fréquences
conditionnelles des probabilités conditionnelles :
P_F(D) = \dfrac{24}{60} = 0{,}4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{24}{60} = 0{,}4

]]> Bonne réponse : sachant « fille », l'univers se réduit
aux 60 filles : P_F(D) = \dfrac{\text{Card}(F \cap D)}
{\text{Card}(F)} = \dfrac{24}{60}.

]]> \dfrac{24}{100} = 0{,}24

]]> Erreur : 0{,}24 = P(F \cap D) garde l'univers entier.
L'information « c'est une fille » réduit l'univers
aux 60 filles.

]]> \dfrac{60}{100} = 0{,}6

]]> Erreur : 0{,}6 = P(F) est la probabilité de la
condition elle-même, pas celle de la demi-pension sachant
la condition.

]]> 24/44

]]> Conditionnement inversé : 24/44 = P_D(F),
probabilité d'être une fille sachant demi-pensionnaire.

]]> Probabilités — Q09 : $P_A(B)$ et $P_B(A)$ En général, les probabilités conditionnelles P_A(B) et
P_B(A) sont-elles égales ?

]]> P_A(B) = Card(A ∩ B)/Card(A) et
P_B(A) = Card(A ∩ B)/Card(B) :
même numérateur, dénominateurs différents. Leur confusion
(« inversion du conditionnement ») est au cœur des erreurs de
type « faux positifs ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent
en général

]]> Bonne réponse : dans le lycée précédent, P_F(D) =
\dfrac{24}{60} = 0{,}4 alors que P_D(F) =
\dfrac{24}{44} \approx 0{,}545. Confondre les deux est
l'erreur d'inversion du conditionnement.

]]> Oui : c'est la même intersection A ∩ B

]]> Erreur : le numérateur est commun, mais les
dénominateurs diffèrent (Card(A) contre
Card(B)) : les deux quotients n'ont aucune raison
de coïncider.

]]> Oui, dès que A et B sont compatibles

]]> Erreur : la compatibilité (intersection non vide) ne
rétablit pas l'égalité : l'exemple du lycée le montre
(0{,}4 \neq 0{,}545).

]]> Non, elles sont toujours complémentaires (P_A(B) + P_B(A) = 1)

]]> Erreur : aucune relation systématique de ce type :
0{,}4 + 0{,}545 \neq 1. Elles sont simplement
différentes en général.

]]> Probabilités — Q10 : Compléter une loi de probabilité Une expérience a trois issues a, b, c avec
P(a) = 0{,}2 et P(b) = 0{,}5. Que vaut P(c) ?

]]> Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre
positif, la somme faisant 1. Issue manquante :
1 - (0{,}2 + 0{,}5) = 0{,}3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : la somme des probabilités des issues vaut
1 : P(c) = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3.

]]> 0{,}7

]]> Erreur : 0{,}7 = 1 - 0{,}3 ? Le calcul correct
retranche les deux probabilités connues :
1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3.

]]> 1

]]> Erreur : c'est la somme totale qui vaut 1, pas la
dernière probabilité.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.

]]> Probabilités — Q11 : Fréquences et loi des grands nombres On simule 10 000 lancers d'une pièce équilibrée avec un
programme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de
« pile », d'après la loi des grands nombres (version
vulgarisée du programme) ?

]]> Version vulgarisée au programme : « lorsque n est grand,
sauf exception, la fréquence observée est proche de la
probabilité ». Elle justifie l'estimation de probabilités par
simulation, et interdit l'idée de « compensation » du hasard.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est, sauf exception, proche de 0{,}5

]]> Bonne réponse : « lorsque n est grand, sauf exception,
la fréquence observée est proche de la probabilité ».
C'est ce lien qui permet aussi d'estimer une
probabilité inconnue par simulation.

]]> Elle vaut exactement 0{,}5

]]> Erreur : le hasard laisse toujours fluctuer la fréquence
autour de 0{,}5 (0{,}4987, 0{,}5031…). La loi parle
de proximité, pas d'égalité.

]]> Après une série de piles, la pièce compense avec plus de
faces

]]> Illusion du joueur : la pièce n'a pas de mémoire, chaque
lancer reste à 0{,}5. L'équilibre vient de la
dilution des écarts dans le grand nombre, pas d'une
compensation.

]]> Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où
entre 0 et 1

]]> Erreur : sur 10 000 lancers, une fréquence de
0{,}3 serait extraordinairement improbable. La
stabilisation des fréquences est précisément le contenu
de la loi des grands nombres.

]]> Probabilités — Q12 : Interpréter une pondération de l'arbre [Figure : Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : A
avec 0,3 et A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et
B-barre avec 0,4. Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre
avec 0,8.]

Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre 0{,}2
porté par la branche allant de Ā vers B ?

]]> Grammaire de l'arbre (au programme) : premier niveau =
probabilités simples ; branches suivantes = probabilités
conditionnelles au nœud de départ ; produit le long d'un
chemin = probabilité de l'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité conditionnelle
P_{\overline{A}}(B)

]]> Bonne réponse : toute branche de deuxième niveau porte une
probabilité conditionnée par son point de départ :
ici, B sachant Ā.

]]> La probabilité P(B)

]]> Erreur : P(B) n'apparaît sur aucune branche unique :
B peut arriver par deux chemins (A puis B, ou
Ā puis B).

]]> La probabilité P(Ā ∩ B)

]]> Erreur : l'intersection est la probabilité du chemin
complet : 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14, pas la
pondération d'une seule branche.

]]> La probabilité P(Ā)

]]> Erreur : P(\overline{A}) = 0{,}7 est portée par la
branche du premier niveau. Le 0{,}2 vit au second
niveau, donc conditionné.

]]> Probabilités — Q13 : Événement certain, événement impossible On lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de
l'événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » ?

]]> Échelle des probabilités : de 0 (impossible) à 1
(certain), jamais au-delà. Tout résultat hors de
[0\ ;\ 1] signale une erreur de calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 : l'événement est certain

]]> Bonne réponse : toutes les issues conviennent :
probabilité 6/6 = 1, le maximum possible.

]]> 0

]]> Inverse : 0 est la probabilité d'un événement
impossible (« obtenir 7 ») : ici tout tirage
convient.

]]> ⅙

]]> Erreur : ⅙ vaut pour UNE face précise :
l'événement proposé les accepte toutes les six.

]]> 6

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1 :
6 est le nombre d'issues, pas une probabilité.

]]> Probabilités — Q14 : Événements incompatibles A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se
produire en même temps), avec P(A) = 0{,}3 et P(B) =
0{,}4. Que vaut P(A ∪ B) ?

]]> Incompatibles (A ∩ B = ∅) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) : le cas particulier confortable. Avec
recouvrement, la formule générale retranche l'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : incompatibles = aucun recouvrement : les
probabilités s'additionnent simplement : 0{,}3 +
0{,}4.

]]> 0{,}12

]]> Produit : 0{,}3 \times 0{,}4 concernerait des
événements indépendants ET simultanés (A ∩ B) :
la réunion d'incompatibles s'additionne.

]]> 0{,}1

]]> Soustraction : rien à retrancher ici : l'intersection
est vide (P(A ∩ B) = 0).

]]> Impossible à savoir

]]> Erreur : l'incompatibilité est exactement l'information
qui permet de conclure : addition directe.

]]> Probabilités — Q15 : Deux pièces équilibrées On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux « pile » ?

]]> Expérience à deux épreuves : l'univers est le produit
(ici 2 × 2 = 4 issues équiprobables). Le piège
historique (compter « un de chaque » comme UNE issue) date
de d'Alembert : l'arbre le dissout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¼

]]> Bonne réponse : quatre issues équiprobables (PP, PF, FP,
FF), une seule favorable : ¼ (ou ½ × ½ le long de l'arbre).

]]> ½

]]> Erreur : ½ vaut pour UNE pièce : la deuxième
doit aussi tomber sur pile : on multiplie les deux
½.

]]> ⅓

]]> Univers mal compté : « deux piles, deux faces, un de
chaque » ne sont PAS équiprobables : « un de chaque »
recouvre deux issues (PF et FP) : l'univers correct a
quatre issues.

]]> 1

]]> Erreur : trois autres issues existent (PF, FP, FF) :
l'événement n'a rien de certain.

]]> Probabilités — Q16 : La formule de la réunion On donne P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}4 et P(A \cap B) =
0{,}2. Que vaut P(A ∪ B) ?

]]> P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : le diagramme
« patate » le montre : additionner les deux zones compte
deux fois le recouvrement. Garde-fou : le résultat doit
rester dans [0\ ;\ 1].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 +
0{,}4 - 0{,}2 : l'intersection, comptée deux fois dans
la somme, se retranche une fois.

]]> 0{,}9

]]> Double comptage : 0{,}5 + 0{,}4 compte deux fois la
zone commune : la formule la retire : -0{,}2.

]]> 0{,}2

]]> Confusion : 0{,}2 est l'intersection (A et B
ensemble) : la réunion (A ou B) est bien plus
large.

]]> 1{,}1

]]> Alerte : une probabilité au-dessus de 1 est
impossible : signe certain qu'une soustraction manque.

]]> Probabilités — Q17 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la
probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?

]]> Deux dés : univers de 36 couples ordonnés équiprobables :
compter les couples favorables. Les sommes, elles, ne sont
PAS équiprobables : leur histogramme en pyramide culmine à
7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6/36 = ⅙

]]> Bonne réponse : 36 couples équiprobables ; six donnent
7 : (1\ ;6), (2\ ;5), (3\ ;4), (4\ ;3), (5\ ;2), (6\ ;1) : la somme la plus probable.

]]> 1/11

]]> Sommes équiprobables imaginées : les valeurs 2 à 12
existent, mais avec des poids différents (7 se
fabrique de six façons, 2 d'une seule).

]]> 3/36

]]> Ordre oublié : (3\ ;4) et (4\ ;3) sont deux issues
distinctes (premier dé, second dé) : six couples, pas
trois.

]]> 7/36

]]> Erreur : la valeur 7 de la somme n'est pas son nombre
de décompositions : on compte les couples (6).

]]> Probabilités — Q18 : Contraire dans un monde conditionné On sait que P_A(B) = 0{,}7. Que vaut P_A(\bar{B}) ?

]]> Les probabilités conditionnelles obéissent à toutes les
règles des probabilités : P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B). Sur
l'arbre : les branches issues d'un même nœud somment à 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : dans le monde restreint à A, B et
\bar{B} se partagent tout : P_A(\bar{B}) = 1 -
P_A(B).

]]> 0{,}7

]]> Erreur : B et son contraire ne peuvent pas peser
pareil sauf à 0{,}5 : ils somment à 1 : 1 - 0{,}7
= 0{,}3.

]]> Impossible sans connaître P(A)

]]> Erreur : la règle du contraire fonctionne À L'INTÉRIEUR
du monde conditionné : P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1,
quel que soit P(A).

]]> -0{,}7

]]> Impossible : une probabilité n'est jamais négative : le
contraire se calcule par 1 - 0{,}7.

]]> Probabilités — Q19 : Intersection dans un tableau Sur 200 élèves, le tableau croisé indique 30 élèves à la
fois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.
Que vaut P(interne ∩ sportif) ?

]]> Dans un tableau croisé : case / total = probabilité de
l'intersection ; case / marge = probabilité conditionnelle.
Le choix du dénominateur fait toute la différence : total
pour « et », marge pour « sachant ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{30}{200} = 0{,}15

]]> Bonne réponse : l'intersection se lit dans la case
croisée, rapportée à l'effectif total : 30 sur
200.

]]> 30

]]> Effectif brut : une probabilité est une proportion :
diviser par le total 200.

]]> 30/100

]]> Mauvais total : l'univers compte 200 élèves : la case
se divise par 200 (diviser par un sous-total donnerait
une conditionnelle).

]]> 0{,}85

]]> Erreur : 0{,}85 = 1 - 0{,}15 est la probabilité du
contraire de l'intersection.

]]> Probabilités — Q20 : Branche manquante d'un arbre Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les
probabilités 0{,}25, 0{,}45 et p. Que vaut p ?

]]> Règle de cohérence d'un arbre pondéré : à chaque nœud, la
somme des branches sortantes vaut 1. C'est le premier
contrôle à faire sur tout arbre, donné ou construit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc p = 0{,}3

]]> Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud
somment à 1 : p = 1 - 0{,}25 - 0{,}45.

]]> p = 0{,}7

]]> Soustraction incomplète : 1 - 0{,}25 - 0{,}45 retire
les DEUX branches connues : 0{,}3.

]]> p = 0{,}25

]]> Erreur : rien n'impose des branches égales : c'est la
somme à 1 qui contraint : 0{,}3.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : la loi du nœud (somme = 1) détermine toujours
la branche manquante.

]]> Probabilités — Q21 : Deux tirages sans remise Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire
deux boules sans remise. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux rouges ?

]]> Sans remise : chaque tirage modifie l'urne : les
probabilités de la deuxième branche se recalculent avec une
boule de moins. C'est la différence structurelle avec le
tirage avec remise (branches identiques).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅗ × 2/4 = 3/10

]]> Bonne réponse : première rouge : ⅗ ; il
reste alors 2 rouges sur 4 boules : 2/4 :
l'arbre multiplie le long du chemin, avec des
probabilités mises à jour.

]]> ⅗ × ⅗ = 9/25

]]> Remise fantôme : après un premier tirage rouge, l'urne a
changé (2 rouges sur 4) : sans remise, la deuxième
branche s'actualise.

]]> ⅖

]]> Erreur : ⅖ est la proportion de bleues :
l'événement demande DEUX tirages : produit de deux
fractions.

]]> 6/10

]]> Erreur : ⅗ + 2/4 - … : aucune
addition ici : le chemin « rouge puis rouge » se calcule
en produit : 6/20 = 3/10.

]]> Probabilités — Q22 : « Au moins un » par le contraire On lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la
probabilité d'obtenir au moins un six ?

]]> « Au moins un » : passer systématiquement par le
contraire « aucun » : P = 1 - P(aucun). Un seul
produit au lieu d'un inventaire de cas : le réflexe le plus
rentable du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - 25/36 = 11/36

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un six » est
« aucun six » : ⅚ × ⅚ = 25/36 : le complément fait le reste.

]]> ⅙ + ⅙ = 2/6

]]> Addition abusive : elle compte deux fois le double six
(1/36) : le calcul exact passe par le
contraire (ou retranche l'intersection :
12 - 1/36).

]]> 1/36

]]> Confusion : 1/36 est la probabilité de DEUX
six : « au moins un » est beaucoup plus fréquent
(11/36).

]]> ⅙ × ⅙

]]> Erreur : ce produit calcule « six au premier ET au
second » : « au moins un » englobe trois scénarios : le
contraire est plus rapide.

]]> Probabilités — Q23 : « Et » ou « sachant » ? Dans un lycée, P(\text{interne} \cap \text{sportif}) =
0{,}15 et P_{\text{interne}}(\text{sportif}) = 0{,}6.
Que signifie la différence entre ces deux nombres ?

]]> « Et » = intersection (dénominateur : tout l'univers) ;
« sachant » ou « parmi » = conditionnelle (dénominateur : la
condition). Lien : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) (ici
0{,}15 = 0{,}25 \times 0{,}6 : un quart d'internes).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}15 : proportion des élèves à la fois internes et
sportifs dans TOUT le lycée ; 0{,}6 : proportion de
sportifs PARMI les internes

]]> Bonne réponse : même case du tableau, deux dénominateurs :
le total pour l'intersection, l'effectif des internes
pour la conditionnelle : d'où des valeurs très
différentes.

]]> Les deux nombres devraient être égaux : il y a une
erreur d'énoncé

]]> Erreur : ils coïncideraient seulement si tous les élèves
étaient internes : en général, conditionner change le
dénominateur, donc la valeur.

]]> 0{,}6 est faux : une conditionnelle est toujours plus
petite que l'intersection

]]> Inverse : la conditionnelle divise l'intersection par un
nombre ≤ 1 : elle est toujours plus grande (ou
égale).

]]> 0{,}15 concerne les internes, 0{,}6 les sportifs

]]> Erreur : les deux concernent les élèves internes ET
sportifs : c'est l'univers de référence (total ou
internes) qui distingue les deux mesures.

]]> Probabilités — Q24 : Le faux « une chance sur deux » « Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une
chance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?

]]> L'équiprobabilité se justifie (symétrie, « au hasard »),
elle ne se décrète pas en comptant les issues. Le
raisonnement « soit ça marche, soit ça rate : 50/50 » est le
sophisme probabiliste le plus répandu : savoir le démonter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être
équiprobables

]]> Bonne réponse : l'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE à
justifier (symétrie du dé, tirage au hasard…), pas une
conséquence du nombre d'issues : ici gagner est
infiniment plus rare que perdre.

]]> Il est correct : deux issues, donc ½
chacune

]]> Le sophisme visé : compter les issues ne suffit jamais :
il faut leur POIDS : au loto, les combinaisons perdantes
écrasent l'unique gagnante.

]]> Il est correct si on joue une seule fois

]]> Erreur : le nombre de tentatives ne change pas la
probabilité d'un tirage : elle reste minuscule à chaque
grille.

]]> Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,
match nul

]]> Hors sujet : ajouter des issues ne répare rien :
l'erreur est de postuler l'équiprobabilité sans
justification.

]]>