$course$/QCM de maths/Seconde/Vecteurs du plan Égalité de deux vecteurs, coordonnées d'un vecteur et de
AB⃗, somme et produit par un réel, relation de
Chasles, colinéarité et déterminant, norme, milieu d'un segment,
alignement et parallélisme.

]]> Vecteurs du plan — Q01 : Égalité de vecteurs et parallélogramme Soient A, B, C, D quatre points du plan (non alignés).
Que signifie l'égalité AB⃗ = DC⃗ ?

]]> AB⃗ = DC⃗ ⇔
ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). La
translation qui envoie A sur B envoie alors D sur C.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ABCD est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : AB⃗ = DC⃗
signifie que [AB] et [DC] ont même direction, même sens
et même longueur : c'est la caractérisation vectorielle du
parallélogramme ABCD.

]]> ABCD est un rectangle

]]> Trop fort : l'égalité vectorielle ne dit rien des angles.
Elle garantit un parallélogramme, rectangle seulement si un
angle droit s'y ajoute.

]]> Les segments [AB] et [DC] ont la même longueur

]]> Incomplet : l'égalité de vecteurs exige aussi même
direction et même sens. Deux segments de même
longueur peuvent pointer n'importe où.

]]> A = D et B = C

]]> Erreur : deux vecteurs égaux peuvent avoir des
représentants d'origines différentes ; c'est tout l'intérêt
de la notion.

]]> Vecteurs du plan — Q02 : Lire les coordonnées d'un vecteur [Figure : Repère orthonormé avec quadrillage. Le point A est en (1 ; 1)
et le point B en (4 ; 3). Le vecteur u, tracé en bleu de A
vers B, avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux
vers le haut.]

Sur la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées du
vecteur u⃗ = AB⃗ ?

]]> Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement :
AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (4-1 ; 3-1) = (3 ; 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(3 ; 2)

]]> Bonne réponse : pour aller de A à B, on se déplace de
3 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut :
u⃗(3 ; 2).

]]> u⃗(4 ; 3)

]]> Erreur : (4 ; 3) sont les coordonnées du point
B. Celles du vecteur mesurent le déplacement de A
vers B.

]]> u⃗(2 ; 3)

]]> Coordonnées inversées : le déplacement horizontal (3)
s'écrit en premier, le vertical (2) en second.

]]> u⃗(5 ; 4)

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées de A et
B. Un vecteur se lit par différence (arrivée moins
départ).

]]> Vecteurs du plan — Q03 : Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ Soient A(2 ; -1) et B(5 ; 3). Quelles sont les
coordonnées de AB⃗ ?

]]> AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) : toujours
« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :
3 - (-1) = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3 ; 4)

]]> Bonne réponse : AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (5 - 2 ; 3 - (-1)) = (3 ; 4).

]]> (7 ; 2)

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La
formule est une différence : arrivée moins départ.

]]> (3 ; 2)

]]> Erreur de signe : y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4.
Soustraire un négatif revient à additionner.

]]> (-3 ; -4)

]]> Sens inversé : (-3 ; -4) est le vecteur
BA⃗, du point d'arrivée vers le point de
départ.

]]> Vecteurs du plan — Q04 : Somme de deux vecteurs Soient u⃗(2 ; 3) et v⃗(-1 ; 4). Quelles sont
les coordonnées de u⃗ + v⃗ ?

]]> u⃗(x ; y) + v⃗(x' ; y') = (x + x' ; y + y') : les déplacements s'enchaînent, les
coordonnées s'ajoutent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 ; 7)

]]> Bonne réponse : on additionne coordonnée par coordonnée :
(2 + (-1) ; 3 + 4) = (1 ; 7).

]]> (3 ; 7)

]]> Erreur de signe : 2 + (-1) = 1, pas 3 (tu as soustrait
-1 au lieu de l'ajouter).

]]> (1 ; -1)

]]> Erreur : la deuxième coordonnée vaut 3 + 4 = 7. Chaque
coordonnée s'additionne indépendamment.

]]> (-2 ; 12)

]]> Erreur : tu as multiplié les coordonnées. La somme de
vecteurs est une addition coordonnée par coordonnée.

]]> Vecteurs du plan — Q05 : Produit d'un vecteur par un réel Soit u⃗(2 ; -1). Quelles sont les coordonnées de
-3u⃗ ?

]]> k u⃗(x ; y) = (kx ; ky). Pour k = -3 :
(-6 ; 3), vecteur de sens opposé et trois fois plus long.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-6 ; 3)

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
-3 : (-3 × 2 ; -3 × (-1)) = (-6 ; 3).

]]> (-6 ; -3)

]]> Erreur de signe : -3 × (-1) = +3. Le produit de
deux négatifs est positif.

]]> (6 ; 3)

]]> Erreur : la première coordonnée vaut -3 × 2 = -6.
Le facteur -3 s'applique avec son signe.

]]> (-1 ; -4)

]]> Erreur : tu as soustrait 3 aux coordonnées.
Multiplier un vecteur par un réel multiplie chaque
coordonnée.

]]> Vecteurs du plan — Q06 : Relation de Chasles Pour trois points A, B, C quelconques, que vaut la somme
AB⃗ + BC⃗ ?

]]> Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ : la lettre
intermédiaire (B) s'efface quand elle termine le premier
vecteur et commence le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AC⃗

]]> Bonne réponse : aller de A à B puis de B à C
revient à aller directement de A à C : c'est la
relation de Chasles.

]]> CA⃗

]]> Sens inversé : l'enchaînement part de A et aboutit à
C, donc AC⃗ (et non le retour
CA⃗).

]]> BB⃗

]]> Erreur : BB⃗ = 0⃗. La somme ne
s'annule que pour un aller-retour, comme
AB⃗ + BA⃗.

]]> AB⃗ × BC⃗

]]> Erreur de nature : on ne « multiplie » pas deux vecteurs
en seconde. La relation de Chasles concerne la somme.

]]> Vecteurs du plan — Q07 : Tester la colinéarité par le déterminant Soient u⃗(2 ; 3) et v⃗(4 ; 6). Ces vecteurs
sont-ils colinéaires ?

]]> u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') sont colinéaires
⇔ \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 0
(produit en croix). Ici 12 - 12 = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = 2 \times 6 - 3
\times 4 = 0

]]> Bonne réponse : le déterminant xy' - yx' est nul, c'est
le critère de colinéarité (on voit d'ailleurs que
v⃗ = 2u⃗).

]]> Non, car leurs coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité,
pas l'égalité. Ici v⃗ = 2u⃗ : colinéaires.

]]> Non, car 2 × 6 + 3 × 4 = 24 ≠ 0

]]> Erreur de formule : le déterminant est une différence
en croix, xy' - yx', pas une somme.

]]> Oui, car toutes leurs coordonnées sont positives

]]> La conclusion est bonne mais l'argument est faux : les
signes ne disent rien de la colinéarité. Seul le
déterminant nul (ou la proportionnalité) conclut.

]]> Vecteurs du plan — Q08 : Calculer un déterminant Que vaut le déterminant de u⃗(2 ; 3) et
v⃗(1 ; 5), et que peut-on en déduire ?

]]> \det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 10 - 3 = 7.
Déterminant non nul ⇔ vecteurs non
colinéaires : ils forment deux directions distinctes du plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \det = 7 : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Bonne réponse : 2 × 5 - 3 × 1 = 10 - 3 = 7 ≠ 0 : les directions sont distinctes.

]]> \det = 13 : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Erreur de formule : 13 = 2 × 5 + 3 × 1
additionne au lieu de soustraire. Le déterminant est
xy' - yx' = 7 (la conclusion reste bonne, pas le
calcul).

]]> \det = 0 : les vecteurs sont colinéaires

]]> Erreur de calcul : 2 × 5 = 10 et 3 × 1 = 3
ne se compensent pas : \det = 7 \neq 0.

]]> \det = 7 : les vecteurs sont colinéaires

]]> Calcul juste, conclusion inversée : la colinéarité
correspond à un déterminant nul. Ici 7 ≠ 0 :
non colinéaires.

]]> Vecteurs du plan — Q09 : Coordonnées du milieu Soient A(1 ; 2) et B(5 ; 8). Quelles sont les
coordonnées du milieu I de [AB] ?

]]> Milieu de [AB] :
I(x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2)
: la moyenne des coordonnées. Ici (3 ; 5).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc I(3 ; 5)

]]> Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :
I(1+5/2 ; 2+8/2) = (3 ; 5).

]]> I(6 ; 10)

]]> Oubli de la division par 2 : (6 ; 10) est la
somme des coordonnées. Le milieu en est la moitié.

]]> I(2 ; 3)

]]> Erreur : (2 ; 3) est la demi-différence
(la moitié de AB⃗), pas le milieu. On
moyenne : (x_A + x_B/2 ; y_A + y_B/2).

]]> I(4 ; 6)

]]> Erreur de calcul : 1+5/2 = 3 et
2+8/2 = 5. Vérifie tes moyennes.

]]> Vecteurs du plan — Q10 : Norme d'un vecteur Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur
u⃗(3 ; 4) ?

]]> En repère orthonormé : \|u⃗(x ; y)\| = √x² + y² (théorème de Pythagore). Ici
√9 + 16 = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : \|u⃗\| = √3² + 4² = √25 = 5 (le triangle 3-4-5 de Pythagore).

]]> 7

]]> Erreur : 3 + 4 additionne les coordonnées. La norme
passe par les carrés : √9 + 16.

]]> 25

]]> Oubli de la racine : 25 est le carré de la norme.
\|u⃗\| = √25 = 5.

]]> √7

]]> Erreur : √3 + 4 oublie d'élever les coordonnées
au carré : √3² + 4² = √25.

]]> Vecteurs du plan — Q11 : Alignement de trois points Soient A(0 ; 1), B(2 ; 4) et C(6 ; 10). Ces trois
points sont-ils alignés ?

]]> A, B, C alignés ⇔ AB⃗
et AC⃗ colinéaires ⇔
\det = 0. Ici \det = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 0 :
alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car AB⃗(2 ; 3) et
AC⃗(6 ; 9) ont un déterminant nul

]]> Bonne réponse : 2 × 9 - 3 × 6 = 18 - 18 = 0 :
les vecteurs sont colinéaires
(AC⃗ = 3AB⃗), donc les
points alignés.

]]> Non, car AB ≠ AC

]]> Erreur : des points alignés n'ont aucune raison d'être
équidistants. L'alignement se teste par la
colinéarité des vecteurs, pas par les longueurs.

]]> Non, car les trois points ont des ordonnées différentes

]]> Erreur : seuls les points d'une droite horizontale
partagent la même ordonnée. Une droite oblique traverse
toutes les ordonnées.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la figure

]]> Erreur : le calcul du déterminant tranche sans figure :
\det(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}) = 0,
points alignés. C'est la force du calcul vectoriel.

]]> Vecteurs du plan — Q12 : Caractérisation vectorielle du milieu Soit I un point du segment... plus précisément : quelle
égalité vectorielle caractérise « I est le milieu de
[AB] » ?

]]> Caractérisation vectorielle du milieu (au programme) : I
milieu de [AB] ⇔ IA⃗ + IB⃗ = 0⃗ ⇔
AI⃗ = ½AB⃗. La
version « longueurs » IA = IB décrit la médiatrice entière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc IA⃗ + IB⃗ = 0⃗

]]> Bonne réponse : depuis le milieu, les vecteurs vers A et
vers B sont opposés, leur somme est nulle. Formulation
équivalente : AI⃗ = ½AB⃗.

]]> IA⃗ = IB⃗

]]> Piège : deux vecteurs égaux ont le même sens ; ici
IA⃗ et IB⃗ pointent
dans des sens opposés. L'égalité forcerait A = B.

]]> IA = IB

]]> Insuffisant : l'égalité des longueurs caractérise
toute la médiatrice de [AB], pas seulement son milieu.
Il faut l'information vectorielle (direction comprise).

]]> AI⃗ = 2 AB⃗

]]> Erreur de coefficient : ce point serait au-delà de
B, deux fois trop loin. Le milieu correspond à
AI⃗ = ½AB⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q13 : Image par une translation Quelle est l'image du point A(2\ ;\ 1) par la translation
de vecteur u⃗(3\ ;\ -2) ?

]]> Translation de vecteur u⃗(a\ ;\ b) : chaque point
glisse de a horizontalement et b verticalement : A'(x_A + a\ ;\ y_A + b). Le vecteur EST le déplacement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A'(5\ ;\ -1)

]]> Bonne réponse : translater = ajouter les coordonnées du
vecteur : (2 + 3\ ;\ 1 - 2).

]]> A'(-1\ ;\ 3)

]]> Soustraction : (2 - 3\ ;\ 1 + 2) applique le vecteur
opposé : la translation ajoute u⃗, elle ne le
retire pas.

]]> A'(6\ ;\ -2)

]]> Multiplication : les coordonnées du vecteur
s'ajoutent à celles du point, elles ne les
multiplient pas.

]]> A'(3\ ;\ -2)

]]> Point de départ oublié : (3\ ;\ -2) sont les
coordonnées du vecteur : l'image part de A et se
décale de u⃗.

]]> Vecteurs du plan — Q14 : Vecteur opposé Quel est l'opposé du vecteur u⃗(4\ ;\ -3) ?

]]> -u⃗ : mêmes coordonnées avec signes opposés.
Propriété clé : u⃗ + (-u⃗) = 0⃗, et
BA⃗ = -AB⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -u⃗(-4\ ;\ 3)

]]> Bonne réponse : l'opposé change le signe des deux
coordonnées : même direction, même longueur, sens
contraire.

]]> (-4\ ;\ -3)

]]> Une seule coordonnée basculée : l'opposé retourne le
vecteur entier : les deux signes changent.

]]> (4\ ;\ 3)

]]> Erreur : seul le signe du -3 a changé : ce vecteur
n'est ni u⃗ ni son opposé.

]]> (¼\ ;\ -⅓)

]]> Confusion : les inverses concernent les nombres ;
l'opposé d'un vecteur change les signes, pas les
valeurs.

]]> Vecteurs du plan — Q15 : Calculer $3\vec{u}$ Soit u⃗(2\ ;\ -1). Quelles sont les coordonnées de
3u⃗ ?

]]> ku⃗ : les deux coordonnées multipliées par k.
Géométriquement : longueur multipliée par |k|, sens
conservé si k > 0, retourné si k < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (6\ ;\ -3)

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
3 : même direction et même sens, longueur triplée.

]]> (5\ ;\ 2)

]]> Addition : (2 + 3\ ;\ -1 + 3) ajoute 3 au lieu de
multiplier par 3.

]]> (6\ ;\ -1)

]]> Multiplication partielle : le facteur 3 s'applique aux
deux coordonnées.

]]> (6\ ;\ 3)

]]> Signe : 3 × (-1) = -3 : multiplier par un
positif conserve les signes.

]]> Vecteurs du plan — Q16 : Coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$ Soient u⃗(5\ ;\ 2) et v⃗(1\ ;\ 4). Quelles
sont les coordonnées de u⃗ - v⃗ ?

]]> u⃗ - v⃗ : soustraction coordonnée par
coordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi u⃗ + (-v⃗) : ajouter l'opposé.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4\ ;\ -2)

]]> Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : (5 - 1\ ;\ 2 - 4) = (4\ ;\ -2).

]]> (6\ ;\ 6)

]]> Addition : (5 + 1\ ;\ 2 + 4) calcule u⃗ + v⃗ : la différence soustrait.

]]> (-4\ ;\ 2)

]]> Ordre inversé : (1 - 5\ ;\ 4 - 2) calcule v⃗ - u⃗, l'opposé du résultat cherché.

]]> (4\ ;\ 2)

]]> Signe : 2 - 4 = -2 : la deuxième coordonnée est
négative.

]]> Vecteurs du plan — Q17 : Construire le quatrième sommet Soient A(0\ ;\ 0), B(3\ ;\ 1) et C(4\ ;\ 3). Où
placer D pour que ABCD soit un parallélogramme ?

]]> ABCD parallélogramme \iff \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC} (attention à l'ordre des lettres :
les sommets se suivent le long du bord). Le calcul : une
égalité vectorielle et une soustraction de coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc D(1\ ;\ 2), pour que AB⃗ = DC⃗

]]> Bonne réponse : ABCD parallélogramme \iff
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} : avec
AB⃗(3\ ;\ 1) : D = C - (3\ ;\ 1) = (1\ ;\ 2).

]]> D(7\ ;\ 4)

]]> Mauvais côté : (7\ ;\ 4) = C + AB⃗
construit ABDC (ordre des lettres différent) : pour
ABCD, le côté [DC] est parallèle à [AB] : D = C - AB⃗.

]]> D(4\ ;\ 3)

]]> Erreur : c'est le point C : un parallélogramme a
quatre sommets distincts.

]]> D(-3\ ;\ -1)

]]> Erreur : A - AB⃗ prolonge [BA] :
le quatrième sommet se construit à partir de C.

]]> Vecteurs du plan — Q18 : Chasles en chaîne Que vaut la somme AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ ?

]]> Chasles se cascade : dans une somme de vecteurs « bout à
bout », seuls comptent le départ et l'arrivée. Boucle
fermée (AB⃗ + BC⃗ + CA⃗) : vecteur nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AD⃗

]]> Bonne réponse : les points intermédiaires s'effacent en
cascade : A → B → C → D revient à A → D.

]]> 0⃗

]]> Erreur : la somme ne s'annule que si le chemin
revient à son départ (+DA⃗
manquerait pour boucler).

]]> DA⃗

]]> Sens inversé : le trajet part de A et finit en D :
AD⃗.

]]> AB⃗ + CD⃗ : on ne
peut pas simplifier

]]> Erreur : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ d'abord, puis AC⃗ + CD⃗ = AD⃗ : tout
s'enchaîne.

]]> Vecteurs du plan — Q19 : Paramètre de colinéarité Pour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(3\ ;\ m)
et v⃗(6\ ;\ 10) sont-ils colinéaires ?

]]> Colinéarité : xy' - x'y = 0. Avec un paramètre, le
déterminant devient une équation du premier degré. Contrôle
final par la proportionnalité des colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 5

]]> Bonne réponse : déterminant nul : 3 \times 10 - 6
\times m = 30 - 6m = 0 \iff m = 5. (Cohérent :
v⃗ = 2u⃗.)

]]> m = 20

]]> Équation mal posée : le déterminant est xy' - x'y = 30 - 6m, qui s'annule en 5 (pas 60/3).

]]> m = 7

]]> Erreur : 30 - 42 = -12 ≠ 0 : la proportionnalité
exige m/10 = 3/6, soit m = 5.

]]> Aucune : les premières coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité
(6 = 2 × 3 passe très bien), pas l'égalité.

]]> Vecteurs du plan — Q20 : Le vecteur nul Que vaut AB⃗ + BA⃗ ?

]]> BA⃗ = -AB⃗, donc leur
somme est 0⃗ (coordonnées (0\ ;\ 0), aucune
direction). Distinguer soigneusement 0⃗ (vecteur) de
0 (nombre).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0⃗, le vecteur nul

]]> Bonne réponse : aller de A à B puis revenir :
déplacement total nul (BA⃗ = -AB⃗).

]]> 2AB⃗

]]> Erreur : 2AB⃗ = AB⃗ + AB⃗ (deux fois le MÊME sens) : ici le
retour annule l'aller.

]]> Le nombre 0

]]> Erreur de nature : la somme de deux vecteurs est un
vecteur : le vecteur nul 0⃗, pas le réel 0.

]]> AB⃗

]]> Erreur : ajouter BA⃗ n'est pas neutre :
c'est l'opposé exact de AB⃗ : tout
s'annule.

]]> Vecteurs du plan — Q21 : Distance entre deux points Soient A(1\ ;\ 2) et B(4\ ;\ 6). Que vaut la distance
AB ?

]]> AB = √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² : la norme du
vecteur AB⃗ : écarts, carrés, somme,
racine : quatre gestes dans cet ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : AB⃗(3\ ;\ 4), et AB = \|AB⃗\| = √3² + 4² = 5 : le
triangle 3-4-5.

]]> 7

]]> Erreur : 3 + 4 additionne les écarts : la distance
« à vol d'oiseau » passe par Pythagore : √9 + 16.

]]> 25

]]> Racine oubliée : 25 est AB² : la distance vaut
5.

]]> √7

]]> Erreur : √3 + 4 oublie les carrés : la
formule est √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)².

]]> Vecteurs du plan — Q22 : Quel parallélogramme pour $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ? On sait que AB⃗ = CD⃗
(points non alignés). Quel quadrilatère est un
parallélogramme ?

]]> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC
parallélogramme ; \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC} \iff ABCD parallélogramme. L'ordre des
lettres du contour suit les flèches : dessiner deux flèches
égales rend l'ordre évident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ABDC (dans cet ordre)

]]> Bonne réponse : AB⃗ = CD⃗ envoie A sur B et C sur D
par la même translation : les côtés [AB] et [CD]
sont parallèles de même sens : le tour du quadrilatère
se lit A, B, D, C.

]]> ABCD (dans cet ordre)

]]> Le piège de l'ordre des lettres : ABCD parallélogramme
correspond à AB⃗ = DC⃗ (le D et le C inversés) : ici
les sommets se suivent en A, B, D, C.

]]> ACBD

]]> Erreur : cet ordre croise les côtés (papillon) :
l'égalité donnée apparie [AB] avec [CD] dans le même
sens : contour A, B, D, C.

]]> Aucun : une égalité vectorielle ne fait pas un
parallélogramme

]]> Erreur : c'est LA caractérisation vectorielle du
parallélogramme : deux côtés opposés portés par des
vecteurs égaux.

]]> Vecteurs du plan — Q23 : La règle du parallélogramme u⃗ et v⃗ sont tracés depuis la même origine
O. Comment se construit géométriquement u⃗ + v⃗ ?

]]> Deux visualisations de u⃗ + v⃗ : mettre
v⃗ au bout de u⃗ (Chasles), ou compléter le
parallélogramme depuis l'origine commune : sa diagonale
issue de O est la somme (l'autre diagonale : la
différence).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la diagonale issue de O du parallélogramme
construit sur u⃗ et v⃗

]]> Bonne réponse : compléter le parallélogramme : la somme
part de O et rejoint le sommet opposé : équivalent du
« bout à bout » de Chasles.

]]> C'est l'autre diagonale du parallélogramme

]]> Erreur : l'autre diagonale représente la différence
u⃗ - v⃗ (elle joint les extrémités des deux
vecteurs).

]]> C'est le vecteur qui joint l'extrémité de u⃗ à
celle de v⃗

]]> C'est la différence v⃗ - u⃗ : la somme, elle,
part de l'origine commune vers le sommet opposé.

]]> On ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine

]]> Erreur : deux constructions existent : bout à bout
(Chasles) ou parallélogramme (même origine) : le
résultat est le même vecteur.

]]> Vecteurs du plan — Q24 : Multiplier par un réel négatif Comment -2u⃗ se compare-t-il à u⃗ (non nul) ?

]]> ku⃗ : direction inchangée, longueur × |k|,
sens conservé si k > 0, inversé si k < 0. Les trois
attributs d'un vecteur (direction, sens, norme) réagissent
chacun à sa façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Même direction, sens contraire, longueur doublée

]]> Bonne réponse : le signe retourne le sens, le |{-2}| =
2 double la longueur, la direction (la droite) ne
change jamais.

]]> Direction différente

]]> Erreur : ku⃗ reste toujours sur la même droite
que u⃗ : c'est la définition de la colinéarité.

]]> Même sens, longueur doublée

]]> Signe ignoré : le facteur négatif retourne le
vecteur : sens contraire.

]]> Sens contraire, longueur divisée par 2

]]> Erreur : la longueur est multipliée par |k| = 2, pas
par ½.

]]>