$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Calcul intégral Intégrale d'une fonction continue : définition par l'aire sous la
courbe, lien avec les primitives (F(b) - F(a)), linéarité,
positivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par
parties, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.

]]> Calcul intégral — Q01 : Sens géométrique de l'intégrale Soit f continue et positive sur [a ; b]. Que
représente \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ?

]]> Pour f continue positive sur [a ; b],
∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine sous la courbe,
exprimée en unités d'aire du repère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe de
f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b

]]> Bonne réponse : c'est la définition de l'intégrale d'une
fonction continue positive : l'aire sous la courbe.

]]> La longueur de la courbe de f entre a et b

]]> Erreur : l'intégrale mesure une aire, pas une longueur
d'arc (notion hors programme).

]]> L'accroissement f(b) - f(a)

]]> Confusion : f(b) - f(a) est la variation de f. La
formule F(b) - F(a) fait intervenir une primitive
F, pas f elle-même.

]]> La pente moyenne de la courbe entre a et b

]]> Erreur : la pente moyenne est f(b)-f(a)/b-a
(taux de variation). L'intégrale, elle, cumule les valeurs
de f : c'est une aire.

]]> Calcul intégral — Q02 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ Que vaut \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx ?

]]> ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = ⅓. Le tiers de l'unité d'aire : c'est l'aire sous
la parabole entre 0 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅓

]]> Bonne réponse : une primitive de x² est
x³/3, donc l'intégrale vaut
1³/3 - 0³/3 = ⅓.

]]> ½

]]> Erreur de primitive : x²/2 est une primitive de
x, pas de x². Pour x², on monte à
x³/3.

]]> 1

]]> Erreur : tu as peut-être évalué x² en 1 sans
primitiver. L'intégrale exige de passer par
F(b) - F(a) avec F(x) = x³/3.

]]> 2

]]> Erreur : 2x est la dérivée de x² ; l'intégrale
demande au contraire une primitive.

]]> Calcul intégral — Q03 : Une intégrale avec $\dfrac{1}{x}$ Que vaut \displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx ?

]]> Sur ]0 ; +∞[, ∫ 1/x se calcule avec
ln : ∫₁ᵉ dx/x = [ln x]₁ᵉ = 1. C'est même
la définition historique de e.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : une primitive de 1/x est
ln(x), donc l'intégrale vaut
ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.

]]> e - 1

]]> Erreur : e - 1 correspondrait à la primitive x
(c'est-à-dire à l'intégrale de la constante 1). Ici la
primitive est ln x.

]]> e

]]> Erreur : il faut la différence F(e) - F(1). Avec
F = ln : 1 - 0 = 1, pas e.

]]> -1/e² + 1

]]> Erreur de primitive : tu as utilisé -1/x, qui
primitive 1/x². Pour 1/x, la
primitive de référence est ln x.

]]> Calcul intégral — Q04 : Utiliser la linéarité On sait que \displaystyle\int_0^2 f = 4 et
\displaystyle\int_0^2 g = -1. Que vaut
\displaystyle\int_0^2 \left(2f + 3g\right) ?

]]> Linéarité de l'intégrale :
∫ (α f + β g) = α ∫ f + β ∫ g.
Ici : 2 × 4 + 3 × (-1) = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : par linéarité,
2∫ f + 3∫ g = 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 - 3 = 5.

]]> 11

]]> Erreur de signe : ∫ g = -1 est négative (c'est
possible pour une intégrale). 8 + 3 = 11 oublie ce
signe : le bon calcul est 8 - 3 = 5.

]]> 3

]]> Erreur : 4 - 1 = 3 ignore les coefficients 2 et 3.
La linéarité les conserve : 2 × 4 + 3 × (-1).

]]> 8

]]> Incomplet : 8 = 2∫ f seul. Il faut ajouter la
contribution 3∫ g = -3.

]]> Calcul intégral — Q05 : Intégrale d'une fonction négative Soit f continue et négative sur [0 ; 2], avec
\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = -3. Quelle est l'aire du
domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et
les droites x = 0 et x = 2 ?

]]> Sous l'axe, l'intégrale compte l'aire négativement : pour
f ≤ 0 sur [a ; b], l'aire du domaine vaut
-∫ₐᵇ f. Ici : 3 unités d'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : pour une fonction négative, l'aire est
l'opposé de l'intégrale :
\mathcal{A} = -\int_0^2 f = 3. Une aire est toujours
positive.

]]> -3 unités d'aire

]]> Erreur : une aire est une grandeur positive. C'est
l'intégrale qui peut être négative ; l'aire correspondante
en est l'opposé.

]]> 0

]]> Erreur : le domaine entre la courbe et l'axe est bien réel
et étendu ; son aire vaut |-3| = 3.

]]> 6 unités d'aire

]]> Erreur : aucun doublement n'intervient. Aire = opposé de
l'intégrale = 3.

]]> Calcul intégral — Q06 : Relation de Chasles On sait que \displaystyle\int_0^2 f = 3 et
\displaystyle\int_0^5 f = 10. Que vaut
\displaystyle\int_2^5 f ?

]]> Relation de Chasles :
∫ₐᶜ f = ∫ₐᵇ f + ∫_bᶜ f. On en tire
∫₂⁵ f = ∫₀⁵ f - ∫₀² f = 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : par la relation de Chasles,
∫₀⁵ = ∫₀² + ∫₂⁵, donc
∫₂⁵ f = 10 - 3 = 7.

]]> 13

]]> Erreur : tu as ajouté au lieu de soustraire. Le morceau
[2 ; 5] est ce qui reste quand on retire [0 ; 2] de
[0 ; 5] : 10 - 3.

]]> -7

]]> Erreur de sens : ∫₂⁵ f = 10 - 3 = +7. (Le signe
moins apparaîtrait pour ∫₅² f, bornes échangées.)

]]> 30

]]> Erreur : les intégrales s'ajoutent quand on met les
intervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas.

]]> Calcul intégral — Q07 : Valeur moyenne d'une fonction Soit f continue sur [1 ; 4] avec
\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 9. Quelle est la valeur
moyenne de f sur [1 ; 4] ?

]]> Valeur moyenne : μ = 1/b-a∫ₐᵇ f(x) dx.
Interprétation : le rectangle de base b - a et de hauteur
μ a exactement l'aire de l'intégrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : μ = 1/b-a∫ₐᵇ f = 9/4-1 = 3. C'est la hauteur du rectangle de base
[1 ; 4] ayant la même aire que le domaine sous la
courbe.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient
en divisant par la longueur de l'intervalle,
b - a = 3.

]]> 9/4

]]> Erreur : on divise par b - a = 4 - 1 = 3, pas par la
borne 4.

]]> 27

]]> Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de
diviser. Moyenne = intégrale/longueur = 3.

]]> Calcul intégral — Q08 : Intégration par parties Que vaut \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx ?

]]> Intégration par parties :
∫ₐᵇ u v' = [u v]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u' v. Avec u = x
(qui se simplifie en dérivant) et v' = eˣ :
e - (e - 1) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : par parties avec u = x, v' = eˣ :
[x eˣ]₀¹ - ∫₀¹ eˣ dx = e - (e - 1) = 1.

]]> e - 1

]]> Erreur : e - 1 = ∫₀¹ eˣ dx, l'intégrale sans
le facteur x. Le facteur x exige une intégration par
parties.

]]> e

]]> Incomplet : e = [x eˣ]₀¹ n'est que le terme tout
intégré ; il faut lui retrancher ∫₀¹ eˣ dx = e - 1.

]]> e²/2

]]> Erreur : tu as primitivé chaque facteur séparément
(x²/2 et eˣ mélangés). Un produit ne se
primitive pas facteur par facteur : c'est précisément le
rôle de l'intégration par parties.

]]> Calcul intégral — Q09 : Aire sous une parabole [Figure : Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée
vers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses
en -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des
abscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.]

Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
f(x) = 4 - x², l'axe des abscisses et les droites x = -2
et x = 2. Quelle est son aire ?

]]> ∫₋₂²(4-x²) dx = [4x - x³/3]₋₂² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3. (Au passage :
exactement les deux tiers du rectangle 4 × 4, résultat
d'Archimède.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 32/3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : f est positive sur [-2 ; 2], donc
l'aire vaut \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx =
\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} =
\dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx
10{,}7.

]]> 16/3 unités d'aire

]]> Erreur de bornes : 16/3 = ∫₀² (4 - x²) dx, la moitié droite seulement. Le
domaine s'étend de -2 à 2.

]]> 16 unités d'aire

]]> Erreur : 16 = 4 × 4 est l'aire du rectangle
englobant (base 4, hauteur 4). La parabole en occupe
les deux tiers : 32/3.

]]> 8 unités d'aire

]]> Erreur : 8 serait l'aire du triangle de sommets
(-2 ; 0), (2 ; 0), (0 ; 4). La parabole est
plus « bombée » qu'un triangle : 32/3 > 8.

]]> Calcul intégral — Q10 : La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ Soit f continue sur un intervalle I et a ∈ I. On pose
F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt. Que vaut F'(x) ?

]]> Théorème fondamental de l'analyse : pour f continue,
x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable, de dérivée f.
C'est le pont entre aire et primitive, et la preuve que toute
fonction continue admet des primitives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x)

]]> Bonne réponse : c'est le théorème fondamental : F est la
primitive de f qui s'annule en a, donc F' = f.

]]> f'(x)

]]> Erreur d'étage : dériver l'intégrale rend f elle-même,
pas sa dérivée. Intégrer puis dériver ramène au point de
départ.

]]> F(x) - F(a)

]]> Erreur : c'est un mélange avec la formule
∫ₐᵇ f = F(b) - F(a). La dérivée de
x ↦ ∫ₐˣ f est f(x).

]]> f(x) - f(a)

]]> Erreur : la borne fixe a ne réapparaît pas dans la
dérivée (elle ne pilote qu'une constante d'intégration).
F'(x) = f(x) tout court.

]]> Calcul intégral — Q11 : Rectangles et fonction décroissante Pour approcher \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx avec f
continue et décroissante, on découpe [0 ; 1] en n
morceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche de chaque morceau. Cette
somme est :

]]> Méthode des rectangles avec fonction monotone : bords gauches
et droits fournissent un encadrement de l'intégrale. Pour
f décroissante : somme à gauche ≥ ∫ ≥ somme à
droite, et l'écart fond quand n grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : f décroissant, sa valeur au bord gauche
est la plus grande du morceau : chaque rectangle dépasse
la courbe. La somme majore l'intégrale.

]]> Inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Erreur de sens : ce serait le cas des rectangles à bord
droit (ou d'une fonction croissante avec bord gauche).
Ici chaque rectangle englobe la courbe.

]]> Exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : les rectangles laissent un écart avec la courbe
(sauf fonction constante). L'égalité n'apparaît qu'à la
limite n → +∞.

]]> Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon n

]]> Erreur : la monotonie fixe le sens pour tout n :
bord gauche + décroissance = majoration systématique.

]]> Calcul intégral — Q12 : Aire entre deux courbes Sur [0 ; 1], on a x ≥ x². Quelle est l'aire du
domaine compris entre les courbes de f(x) = x et de
g(x) = x² sur cet intervalle ?

]]> Si f ≥ g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes
vaut ∫ₐᵇ (f(x) - g(x)) dx. Ici :
∫₀¹ (x - x²) dx = ½ - ⅓ = ⅙.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙ unité d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire entre deux courbes est
∫₀¹ (x - x²) dx = ½ - ⅓ = ⅙.

]]> ½ unité d'aire

]]> Incomplet : ½ = ∫₀¹ x dx est l'aire sous
la droite seule. Il faut lui retrancher l'aire sous la
parabole.

]]> ⅓ unité d'aire

]]> Erreur : ⅓ = ∫₀¹ x² dx est l'aire sous
la parabole. L'aire entre les deux courbes est la
différence ½ - ⅓.

]]> ⅚ unité d'aire

]]> Erreur : tu as ajouté les deux aires
(½ + ⅓). Le domaine entre les courbes
correspond à leur différence.

]]> Calcul intégral — Q13 : Intégrale d'une constante Que vaut \displaystyle\int_2^5 3\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ c dt = c(b - a) : le rectangle de base. Point de
contrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de 3
(3t + C) redonne 15 - 6 = 9.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur 5 - 2 = 3 et de hauteur 3 : 3 × 3 = 9.

]]> 3

]]> Largeur oubliée : la hauteur 3 doit être multipliée
par la longueur de l'intervalle (3) : l'intégrale
d'une constante n'est pas la constante.

]]> 15

]]> Erreur : 15 = 3 × 5 prend la borne au lieu de la
largeur 5 - 2 = 3 de l'intervalle.

]]> 9/2

]]> Erreur : la division par 2 vaudrait pour un triangle ;
une constante dessine un rectangle plein.

]]> Calcul intégral — Q14 : Échanger les bornes Sachant que \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3},
que vaut \displaystyle\int_1^0 x^2\,dx ?

]]> ∫_bᵃ f = -∫ₐᵇ f : conséquence directe de
[F]ₐᵇ = F(b) - F(a). Utile pour remettre les bornes dans
le bon ordre avant tout calcul ou toute relation de Chasles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -⅓

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe :
∫_bᵃ = -∫ₐᵇ (avec F primitive : F(0) - F(1) = -(F(1) - F(0))).

]]> ⅓

]]> Erreur : l'intégrale est orientée : parcourir
l'intervalle à rebours renverse le signe.

]]> 0

]]> Erreur : ∫ₐᵃ = 0 exige des bornes égales ;
ici elles sont échangées : signe opposé.

]]> ⅔

]]> Erreur : aucun doublement : seule l'orientation change,
donc seulement le signe.

]]> Calcul intégral — Q15 : Une intégrale d'exponentielle Que vaut \displaystyle\int_0^1 e^t\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ eᵗ dt = eᵇ - eᵃ. L'oubli du -F(a), surtout
quand F(a) ≠ 0 comme ici, est l'étourderie la plus
fréquente du chapitre : toujours écrire le crochet complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e - 1

]]> Bonne réponse : eᵗ est sa propre primitive :
[e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72.

]]> e

]]> Borne basse oubliée : le crochet soustrait la valeur en
0, et e⁰ = 1 ne vaut pas zéro !

]]> 1

]]> Erreur : 1 est la valeur de e⁰, pas la différence
e - 1 \approx 1{,}72.

]]> e + 1

]]> Signe : le crochet est F(1) \textbf{−} F(0) : on
soustrait, on n'additionne pas.

]]> Calcul intégral — Q16 : Positivité de l'intégrale f est continue et positive sur [a\ ;\ b] (avec a < b). Que peut-on dire de \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt ?

]]> Positivité : f ≥ 0 sur [a\ ;\ b] (et a ≤ b)
⇒ ∫ₐᵇ f ≥ 0. Combinée à la linéarité,
elle fournit la comparaison des intégrales : le duo
théorique du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est positive ou nulle

]]> Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de
l'axe ne peut pas être négative : la positivité passe de
la fonction à l'intégrale.

]]> Elle est strictement positive

]]> Trop fort : la fonction nulle est positive et son
intégrale vaut 0 : l'inégalité large est la bonne
conclusion.

]]> On ne peut rien dire sans calculer

]]> Erreur : c'est un théorème général (la positivité), qui
donne le signe sans aucun calcul : l'argument le plus
économique des sujets.

]]> Elle vaut f(b) - f(a)

]]> Confusion : F(b) - F(a) fait intervenir une
primitive F, pas la fonction elle-même.

]]> Calcul intégral — Q17 : Comparer deux intégrales Sur [0\ ;\ 1], on sait que f(t) ≤ g(t) pour tout
t. Que peut-on en déduire ?

]]> Croissance : f ≤ g sur [a\ ;\ b] ⇒ ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g (pour a ≤ b). C'est l'outil des
encadrements d'intégrales qu'on ne sait pas calculer : on
encadre la fonction, on intègre l'encadrement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt

]]> Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre (dans
le sens croissant des bornes) : l'aire sous la courbe la
plus basse est la plus petite.

]]> \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \geq \int_0^1 g(t)\,dt

]]> Sens renversé : intégrer ne retourne pas les
inégalités : plus la fonction est haute, plus l'aire est
grande.

]]> Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités

]]> Erreur : la croissance de l'intégrale est un théorème
(conséquence de la positivité appliquée à g - f).

]]> f(t) = g(t) quelque part

]]> Hors sujet : l'hypothèse n'exige aucun contact entre les
courbes ; la conclusion porte sur les aires.

]]> Calcul intégral — Q18 : Une intégrale de cosinus Que vaut \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos t\,dt ?

]]> ∫ cos = sin, ∫ sin = -cos : les deux crochets
trigonométriques à connaître. \int_0^{\pi/2}\cos t\,dt = 1
est le résultat de référence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : [\sin t]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}
- \sin 0 = 1 - 0 = 1 : l'arche montante du cosinus
enferme une aire exactement égale à 1.

]]> 0

]]> Erreur : 0 serait \int_0^{\pi} (l'arche complète
symétrique)… non : \int_0^{\pi}\cos = 0 par
compensation ; sur [0\ ;\ π/2], le cosinus
reste positif : aire 1.

]]> π/2

]]> Erreur : π/2 est la largeur de
l'intervalle : l'aire sous le cosinus se calcule avec la
primitive sin.

]]> -1

]]> Signe : la primitive de cos est +sin (le moins
appartient à la primitive de sin, qui est -cos).

]]> Calcul intégral — Q19 : Intégrale d'une fonction impaire Que vaut \displaystyle\int_{-2}^{2} t^3\,dt ?

]]> Fonction impaire sur [-a\ ;\ a] : intégrale nulle, par
symétrie. Réflexe d'économie (t³, t⁵, sin…), et
leçon en creux : intégrale nulle ne signifie pas aire nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 : la fonction est impaire sur un intervalle centré
en 0

]]> Bonne réponse : les aires de part et d'autre de
l'origine sont opposées et se compensent exactement.
Calcul de contrôle : [t⁴/4]₋₂² = 4 - 4 = 0.

]]> 8

]]> Erreur : 8 = 2⁴/4 + 2⁴/4 additionne
ce qui doit se soustraire : (-2)⁴ = +16 aussi : le
crochet donne 4 - 4 = 0.

]]> 16

]]> Erreur : l'intégrale n'est pas l'aire absolue (qui
vaut 8) : les parties sous l'axe comptent
négativement, et ici tout s'annule.

]]> 4

]]> Erreur : 4 = 2⁴/4 n'est qu'une moitié du
crochet : l'autre borne apporte -4… c'est-à-dire
-(-2)⁴/4 : total nul.

]]> Calcul intégral — Q20 : Intégrale nulle, fonction nulle ? On sait que \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0 avec
f continue. Peut-on en déduire que f est nulle sur
[-1\ ;\ 1] ?

]]> ∫ f = 0 : bilan équilibré, pas fonction nulle. Le
complément vrai : si f ≥ 0, continue, d'intégrale
nulle, alors f = 0 : c'est la positivité stricte qui
interdit la compensation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : f(t) = t a une intégrale nulle sans être nulle

]]> Bonne réponse : les zones positives et négatives peuvent
se compenser : une intégrale nulle dit que le bilan
est équilibré, pas que la fonction est plate.

]]> Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle

]]> Faux : ∫₋₁¹ t dt = 0 par imparité, et f(t) = t n'est pas la fonction nulle : la compensation des
signes fait le travail.

]]> Oui, si f est continue

]]> La continuité ne sauve pas l'énoncé : f(t) = t est
continue. (Le résultat devient vrai en ajoutant f ≥ 0 : là, aucune compensation possible.)

]]> Non, mais f doit s'annuler en 0 précisément

]]> Presque : f doit s'annuler quelque part (elle
change de signe), mais pas nécessairement en 0.

]]> Calcul intégral — Q21 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ Par intégration par parties, que vaut
\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt ?

]]> ∫ₐᵇ uv' = [uv]ₐᵇ - ∫ₐᵇ u'v : choisir u = t
(qui se simplifie en dérivant) et v' = eᵗ. Résultat à
contrôler : ∫₀¹ teᵗ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : u = t, v' = eᵗ : [t eᵗ]₀¹ - ∫₀¹ eᵗ dt = e - (e - 1) = 1.

]]> e - 1

]]> Incomplet : e - 1 est le terme ∫ eᵗ seul ; il
faut le soustraire du crochet [teᵗ]₀¹ = e :
e - (e - 1) = 1.

]]> e²/2

]]> Erreur : primitiver chaque facteur (t²/2,
eᵗ) puis multiplier n'est pas une règle : le produit
exige l'intégration par parties.

]]> e

]]> Arrêt au crochet : [teᵗ]₀¹ = e, mais l'intégration
par parties retranche encore ∫₀¹ eᵗ = e - 1.

]]> Calcul intégral — Q22 : Encadrer une intégrale Sur [0\ ;\ 2], on sait que 1 ≤ f(t) ≤ 3. Quel
encadrement de \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt en
découle ?

]]> m ≤ f ≤ M sur [a\ ;\ b] ⇒ m(b-a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b-a) : l'inégalité de la moyenne.
Autrement dit, la valeur moyenne de f reste entre m et
M.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 6

]]> Bonne réponse : intégrer l'encadrement : ∫₀² 1 = 2 en bas, ∫₀² 3 = 6 en haut : les bornes sont
multipliées par la largeur 2.

]]> 1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 3

]]> Largeur oubliée : l'encadrement de f se multiplie par
la longueur de l'intervalle (2) : c'est la valeur
moyenne qui reste entre 1 et 3.

]]> 0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 1

]]> Erreur : la fonction vaut au moins 1 sur une largeur
2 : l'aire ne peut pas être inférieure à 2.

]]> Aucun : il faut connaître f exactement

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt de la comparaison :
encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale, sans
la calculer.

]]> Calcul intégral — Q23 : Dériver $x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$ Soit F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt. Que vaut
F'(x) ?

]]> Théorème fondamental : pour f continue, F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable et F' = f. Il fabrique des
primitives même quand aucune formule n'existe : c'est le cas
de e^{-t^2} (la gaussienne).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F'(x) = e^{-x^2}

]]> Bonne réponse : théorème fondamental : x ↦ ∫₀ˣ f(t) dt est LA primitive de f qui s'annule
en 0 : sa dérivée est f(x), ici e^{-x^2}.

]]> F'(x) = -2x\,e^{-x^2}

]]> Erreur : -2xe^{-x^2} est la dérivée de e^{-x^2} :
mais F n'est pas e^{-x^2}, c'est son intégrale : la
dérivation la ramène à e^{-x^2} exactement.

]]> F'(x) = e^{-t^2}

]]> Variable fantôme : t est la variable muette
d'intégration : la dérivée s'exprime en x :
e^{-x^2}.

]]> Impossible : e^{-t^2} n'a pas de primitive explicite

]]> Confusion : pas de primitive par formule, certes,
mais la primitive existe (fonction continue) et c'est
précisément F : sa dérivée se lit sans calcul.

]]> Calcul intégral — Q24 : Aire quand la fonction change de signe Sur [0\ ;\ 2π], \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin
t\,dt = 0. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de
sinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?

]]> Aire entre courbe et axe = ∫ |f| : découper l'intervalle
aux zéros de f, intégrer morceau par morceau, sommer les
valeurs absolues. L'intégrale brute, elle, fait le bilan
algébrique : 0 ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 unités d'aire : \displaystyle\int_0^{\pi}\sin
t\,dt = 2 au-dessus, autant en dessous, comptées
positivement

]]> Bonne réponse : l'aire découpe aux changements de
signe : [-\cos t]_0^{\pi} = 2 pour l'arche positive,
et l'arche négative contribue |-2| = 2 : total 4.

]]> 0, comme l'intégrale

]]> Confusion aire/intégrale : l'intégrale compte les zones
sous l'axe négativement ; l'aire, toujours positive,
les compte en valeur absolue.

]]> 2

]]> Une arche oubliée : chaque arche vaut 2 unités d'aire,
et il y en a deux sur [0\ ;\ 2π].

]]> 2π

]]> Erreur : 2π est la largeur de l'intervalle ; l'aire
se calcule avec la primitive de sin, arche par arche.

]]>