$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Concentration et loi des grands nombres Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration pour
la moyenne d'un échantillon, loi des grands nombres :
interprétation, calculs de bornes, détermination d'une taille
d'échantillon, limites de ces majorations.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q01 : Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de
variance V. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
tout réel δ > 0 ?

]]> Bienaymé-Tchebychev : P(|X - μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ². Plus la variance est petite ou le
seuil grand, plus les grands écarts sont improbables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(|X - μ| ≥ δ) ≤ V/δ²

]]> Bonne réponse : la probabilité d'un écart à la moyenne d'au
moins δ est majorée par V/δ².

]]> P(|X - μ| ≥ δ) ≥ V/δ²

]]> Sens inversé : l'inégalité majore la probabilité des
grands écarts (c'est une garantie de rareté), elle ne la
minore pas.

]]> P(|X - μ| ≥ δ) ≤ V/δ

]]> Erreur d'exposant : le seuil δ intervient au
carré, en cohérence avec la variance (qui est en unités
au carré).

]]> P(X ≥ δ) ≤ V/δ²

]]> Erreur : l'inégalité contrôle l'écart à l'espérance
|X - μ|, pas la valeur brute de X.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q02 : Appliquer l'inégalité Soit X d'espérance μ = 10 et de variance V = 4. Que
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
P(|X - 10| ≥ 4) ?

]]> P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2} =
\dfrac{4}{4^2} = 0{,}25 : au plus une chance sur quatre de
s'écarter d'au moins 4 (soit 2σ) de la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}25

]]> Bonne réponse : \dfrac{V}{\delta^2} = \dfrac{4}{16} =
0{,}25.

]]> P(|X - 10| ≥ 4) ≤ 1

]]> Erreur de calcul : 4/4 oublie le carré du seuil.
δ² = 16, la borne vaut \dfrac{4}{16} = 0{,}25.
(Une borne de 1 ne dirait d'ailleurs rien.)

]]> P\left(|X - 10| \geq 4\right) = 0{,}25

]]> Attention au statut : l'inégalité fournit une
majoration, pas la valeur exacte. La probabilité réelle
peut être bien plus petite.

]]> P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 = \dfrac{2}{4} mélange l'écart-type
(σ = 2) et la variance. La formule utilise la
variance : 4/16.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q03 : Rôle de la variance Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait
que la borne V/δ² est proportionnelle à la
variance V ?

]]> L'écart-type σ est l'unité naturelle de dispersion : la
borne se réécrit P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k². Les écarts de plusieurs écarts-types
deviennent vite improbables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Moins une variable est dispersée, plus ses grands écarts à
la moyenne sont improbables

]]> Bonne réponse : la variance mesure la dispersion ; une
petite variance rend les écarts importants d'autant plus
rares. C'est le sens profond de l'inégalité.

]]> Plus la variance est grande, plus la variable est proche de
sa moyenne

]]> Contresens : une grande variance signifie une grande
dispersion, donc des écarts plus fréquents ; la borne
grossit avec V.

]]> La variance donne la probabilité exacte des écarts

]]> Erreur : l'inégalité ne fournit qu'une majoration
universelle, valable pour toute loi. La probabilité exacte
dépend de la loi précise de X.

]]> La borne ne sert que si V = 0

]]> Erreur : si V = 0 la variable est constante et tout est
trivial. C'est justement pour V > 0 que l'inégalité
quantifie la rareté des écarts.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q04 : Inégalité de concentration Soit Mₙ la moyenne d'un échantillon de taille n d'une
variable d'espérance μ et de variance V. Que dit
l'inégalité de concentration pour δ > 0 ?

]]> Inégalité de concentration :
P(|Mₙ - μ| ≥ δ) ≤ V/nδ². Quand
n grandit, la borne tend vers 0 : la moyenne d'échantillon
se concentre autour de μ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(|Mₙ - μ| ≥ δ) ≤ V/n δ²

]]> Bonne réponse : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à
Mₙ, dont la variance vaut V/n. Le facteur n
au dénominateur fait toute la force du résultat.

]]> P(|Mₙ - μ| ≥ δ) ≤ V/δ²

]]> Il manque le facteur n : la moyenne d'échantillon est
moins dispersée qu'une observation isolée
(V(Mₙ) = V/n), la borne doit en profiter.

]]> P(|Mₙ - μ| ≥ δ) ≤ nV/δ²

]]> Erreur : nV est la variance de la somme Sₙ, pas de
la moyenne. Pour Mₙ, on divise : V/n.

]]> P(|Mₙ - μ| ≥ δ) = V/n δ²

]]> Statut incorrect : c'est une majoration (≤), pas
une égalité. La probabilité réelle est souvent bien plus
faible.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q05 : Déterminer une taille d'échantillon Soit une variable de variance V = 1. On veut garantir, via
l'inégalité de concentration, que
P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right) \leq 0{,}05. Quelle
taille n suffit ?

]]> Méthode (capacité attendue) : imposer
V/nδ² ≤ α et isoler n :
n \geq \dfrac{V}{\alpha\,\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}05 \times 0{,}25} = 80.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n ≥ 80

]]> Bonne réponse : la borne est \dfrac{V}{n\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}25\,n} ; exiger \dfrac{1}{0{,}25\,n} \leq
0{,}05 donne n \geq \dfrac{1}{0{,}25 \times 0{,}05} =
80.

]]> n ≥ 20

]]> Erreur : avec n = 20, la borne vaut
\dfrac{1}{0{,}25 \times 20} = 0{,}2, quatre fois trop
grand. Le carré de \delta = 0{,}5 au dénominateur
pénalise fortement.

]]> n ≥ 400

]]> Erreur : 400 = \dfrac{1}{0{,}05^2} mélange le risque et
le seuil. Le calcul correct : n \geq
\dfrac{V}{\delta^2 \times 0{,}05} = 80.

]]> n ≥ 8

]]> Erreur d'un facteur 10 : \dfrac{1}{0{,}25 \times 8} =
0{,}5, dix fois au-dessus du risque visé.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q06 : Loi des grands nombres Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne Mₙ d'un
échantillon d'une variable d'espérance μ ?

]]> Loi des grands nombres : pour tout δ > 0,
P(|Mₙ - μ| ≥ δ) → 0 quand n → +∞
(conséquence directe de l'inégalité de concentration). La
moyenne empirique converge vers l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tout δ > 0, P(|Mₙ - μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞

]]> Bonne réponse : la probabilité qu'un écart donné persiste
s'évanouit quand l'échantillon grandit : Mₙ se concentre
sur μ.

]]> Mₙ devient exactement égale à μ pour n assez grand

]]> Erreur : Mₙ reste aléatoire pour tout n ; c'est la
probabilité des écarts qui s'éteint, pas l'aléa
lui-même.

]]> Mₙ devient constante pour n assez grand

]]> Erreur : chaque nouvel échantillon donne une moyenne
légèrement différente. La dispersion diminue
(en 1/√n) sans jamais s'annuler.

]]> La somme Sₙ tend vers nμ

]]> Erreur d'objet : la somme s'écarte de nμ de plus en
plus en valeur absolue (écart-type σ√n).
C'est la moyenne qui se stabilise.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q07 : Fréquences et pile ou face On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit
la loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?

]]> La loi des grands nombres relie fréquences et probabilités :
la fréquence observée converge vers la probabilité théorique.
Aucune « mémoire » de la pièce n'est en jeu : l'écart absolu
peut croître, mais il est dilué par n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se rapproche de 0{,}5 avec une probabilité d'écart
qui tend vers 0

]]> Bonne réponse : la fréquence est la moyenne d'un
échantillon de Bernoulli d'espérance 0{,}5 : elle se
concentre sur 0{,}5.

]]> Après une série de « pile », un « face » devient plus
probable pour compenser

]]> C'est l'illusion du joueur : les lancers sont
indépendants, la pièce n'a pas de mémoire. La
compensation se fait par dilution (les écarts pèsent de
moins en moins dans la fréquence), pas par correction.

]]> Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de
« face » dès que n est pair

]]> Erreur : l'égalité exacte est même de plus en plus rare.
C'est la proportion qui se rapproche de 0{,}5, pas
les effectifs qui s'égalisent.

]]> La fréquence oscille sans se stabiliser

]]> Erreur : c'est précisément ce que la loi des grands nombres
exclut (en probabilité) : la fréquence se stabilise autour
de 0{,}5.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q08 : Une borne universelle mais grossière Pour une variable X d'espérance μ et d'écart-type
σ, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
P(|X - μ| ≥ 2σ) ?

]]> Avec δ = kσ : P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k². Pour k = 2 : au plus 25 %. La force de
l'inégalité est son universalité, sa faiblesse est d'être
souvent très pessimiste (simulations : autour de 5 %).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au plus ¼, quelle que soit la loi de X

]]> Bonne réponse : V/(2σ)² = σ²/4σ² = ¼. C'est
universel, valable pour toute loi admettant une
variance.

]]> Environ 0{,}05, comme le montrent les simulations

]]> Piège du programme : 0{,}05 est un ordre de grandeur
empirique observé pour beaucoup de lois usuelles, pas
la borne de Tchebychev. L'inégalité, universelle, ne
garantit que ¼ : elle est loin d'être
optimale.

]]> Exactement ¼

]]> Statut incorrect : ¼ est une majoration.
Pour la plupart des lois, la probabilité réelle est très
inférieure.

]]> Au plus ½

]]> Erreur de calcul : σ²/(2σ)² = ¼, pas ½ (le seuil entre au
carré).

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q09 : Quadrupler l'échantillon Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille
d'échantillon n par 4 (à δ fixé). Que devient la
borne V/nδ² ?

]]> La borne V/nδ² est en 1/n :
multiplier n par 4 la divise par 4. (L'écart-type de
Mₙ, lui, n'est divisé que par 2 : deux échelles à ne pas
confondre.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par 4

]]> Bonne réponse : la borne est inversement proportionnelle à
n : quatre fois plus de données, une garantie quatre fois
plus forte.

]]> Elle est divisée par 2

]]> Erreur : la division par 2 concernerait l'écart-type de
Mₙ (en 1/√n). La borne de concentration, elle,
est en 1/n : division par 4.

]]> Elle est divisée par 16

]]> Erreur : la borne dépend de n à la puissance 1, pas au
carré. Facteur 4, pas 16.

]]> Elle est inchangée, seul δ compte

]]> Erreur : le dénominateur contient le produit nδ² :
la taille d'échantillon améliore directement la garantie.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q10 : Passer à l'événement contraire Soit X d'espérance μ et de variance V. Que peut-on
déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
P(|X - μ| < δ) ?

]]> Version « rassurante » de l'inégalité :
P(|X - μ| < δ) ≥ 1 - V/δ². C'est
sous cette forme qu'on garantit qu'une variable reste proche
de sa moyenne avec un niveau de confiance donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(|X - μ| < δ) ≥ 1 - V/δ²

]]> Bonne réponse : l'événement |X - μ| < δ est le
contraire de |X - μ| ≥ δ : sa probabilité est
minorée par 1 - V/δ².

]]> P(|X - μ| < δ) ≤ 1 - V/δ²

]]> Sens inversé : en passant au complémentaire, la majoration
des grands écarts devient une minoration de la
probabilité de rester proche.

]]> P(|X - μ| < δ) ≤ V/δ²

]]> Erreur : V/δ² majore la probabilité des
grands écarts, pas celle de l'événement contraire.

]]> On ne peut rien en déduire

]]> Erreur : le passage au complémentaire est immédiat :
P(A) = 1 - P(\bar{A}) transforme la majoration en
minoration.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q11 : Variance d'une fréquence Soit S_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) et Fₙ = Sₙ/n
la fréquence de succès. Que vaut V(Fₙ) ?

]]> Fₙ = Mₙ pour un échantillon de Bernoulli : E(Fₙ) = p et
V(Fₙ) = p(1-p)/n. Appliquer la concentration à
Fₙ fonde l'estimation d'une proportion par sondage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc p(1-p)/n

]]> Bonne réponse : V(Fₙ) = V(Sₙ)/n² = np(1-p)/n² = p(1-p)/n. La fréquence se
concentre sur p quand n grandit.

]]> np(1-p)

]]> Erreur : np(1-p) est la variance de la somme Sₙ.
Diviser par n élève n au carré dans la variance :
V(Sₙ/n) = V(Sₙ)/n².

]]> p(1-p)

]]> Erreur : p(1-p) est la variance d'une épreuve de
Bernoulli. En moyennant n épreuves, la variance est
divisée par n.

]]> p/n

]]> Erreur : il manque le facteur (1-p). La variance d'une
Bernoulli est p(1-p), d'où p(1-p)/n pour la
fréquence.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q12 : Force et faiblesse de l'inégalité Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?

]]> À retenir en deux phrases : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
est universelle (aucune hypothèse sur la loi) mais loin d'être
optimale. Elle suffit pourtant à démontrer la loi des grands
nombres et à dimensionner des échantillons par condition
suffisante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vaut pour toute variable aléatoire admettant une
variance, sans rien connaître de sa loi

]]> Bonne réponse : son universalité. Elle permet des garanties
a priori (tailles d'échantillon, loi des grands nombres)
là où la loi exacte est inconnue.

]]> Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart

]]> Erreur : c'est une majoration, souvent très pessimiste
(pour 2σ : borne 0{,}25 contre environ 0{,}05
observé sur les lois usuelles).

]]> Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales

]]> Erreur : elle s'applique à toute variable ayant une
variance, binomiale ou non. C'est précisément sa force.

]]> Elle remplace le calcul de l'espérance

]]> Erreur : elle utilise l'espérance et la variance ; elle
ne les fournit pas.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q13 : Doubler le seuil d'écart Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la
borne V(X)/a² quand on double le seuil a ?

]]> P(|X - μ| ≥ a) ≤ V(X)/a² : la décroissance
en 1/a² est le message quantitatif de
l'inégalité : s'éloigner deux fois plus est au moins quatre
fois plus rare.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par 4

]]> Bonne réponse : le seuil intervient au carré :
doubler a quadruple a² : les grands écarts sont
quadratiquement plus rares.

]]> Elle est divisée par 2

]]> Carré oublié : la borne dépend de a², pas de a :
facteur 4, pas 2.

]]> Elle double

]]> Sens inverse : un seuil plus exigeant (plus grand)
rend l'événement plus rare : la borne descend.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : le seuil est au dénominateur : la borne dépend
directement de lui.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q14 : Fréquence sur un grand échantillon On simule 10 000 lancers d'un dé équilibré. Autour de
quelle valeur la fréquence d'apparition du six
doit-elle se stabiliser ?

]]> Loi des grands nombres : la moyenne (ou fréquence)
d'échantillon converge vers l'espérance (ou probabilité)
théorique. La simulation la rend visible : courbe des
fréquences qui s'aplatit sur ⅙.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Autour de \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167

]]> Bonne réponse : loi des grands nombres : la fréquence
observée converge vers la probabilité théorique
⅙ quand le nombre de lancers grandit.

]]> Autour de ½

]]> Erreur : ½ vaudrait pour pile ou face ; le
six est une face sur six : fréquence limite
⅙.

]]> Autour de 6

]]> Confusion : une fréquence est une proportion entre
0 et 1, pas la valeur de la face.

]]> Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais

]]> Erreur : c'est précisément le contenu de la loi des
grands nombres : les fluctuations s'amortissent et la
fréquence se cale sur ⅙.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q15 : Appliquer l'inégalité avec des valeurs X a pour espérance μ = 100 et pour variance V(X) = 25. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
P(|X - 100| ≥ 10) ?

]]> Application mécanique : identifier μ, V, a, puis
V/a². Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,
elle n'évalue pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25

]]> Bonne réponse : V(X)/a² = 25/10² :
au plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins
10 de la moyenne.

]]> P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{10} = 2{,}5

]]> Carré oublié : le dénominateur est a² = 100 (et une
borne de 2{,}5 pour une probabilité ne dirait de toute
façon rien).

]]> P(|X - 100| \geq 10) = 0{,}25 exactement

]]> Nature du résultat : Tchebychev fournit une
majoration, jamais la valeur exacte : la vraie
probabilité peut être bien plus petite.

]]> P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{10}{25} = 0{,}4

]]> Fraction renversée : la variance est au numérateur, le
carré du seuil au dénominateur.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q16 : Une borne qui ne dit rien Avec V(X) = 25, l'inégalité donne P(|X - \mu| \geq 4)
\leq \dfrac{25}{16} \approx 1{,}56. Que faut-il en
conclure ?

]]> Tchebychev n'informe que pour a > σ (borne < 1).
En deçà de l'écart-type, les écarts sont fréquents : aucune
inégalité universelle ne peut les rendre rares.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien : une probabilité est toujours ≤ 1, la borne
est ici sans contenu

]]> Bonne réponse : majorer par 1{,}56 une quantité qui ne
dépasse jamais 1 n'apprend rien : Tchebychev n'est
utile que pour a > σ (ici a = 4 < 5 = σ).

]]> Que l'événement est certain

]]> Erreur : une majoration ne rend rien certain : elle
plafonne. Et un plafond au-dessus de 1 ne plafonne
rien du tout.

]]> Que l'inégalité est fausse dans ce cas

]]> Erreur : l'inégalité reste vraie (P \leq 1 \leq
1{,}56) : elle est simplement inutile, nuance
importante.

]]> Qu'il faut recalculer la variance

]]> Erreur : le calcul est correct : c'est le seuil a,
trop petit devant l'écart-type, qui vide la borne de
son intérêt.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q17 : Dimensionner un échantillon F est la fréquence de succès sur n tirages (V(F) ≤ 1/4n). Quelle taille n garantit, par
Bienaymé-Tchebychev, P(|F - p| \geq 0{,}05) \leq
0{,}05 ?

]]> Schéma d'estimation : V(F) ≤ 1/4n, borne
1/4nδ², qu'on force sous le risque voulu.
Précision fine + risque faible = grand échantillon : le
coût, chiffré, des sondages sérieux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n ≥ 2000, car \dfrac{1}{4n \times 0{,}05^2} \leq
0{,}05 \iff n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}05^3}

]]> Bonne réponse : borne \dfrac{1/(4n)}{0{,}0025} =
\dfrac{100}{n} ; exiger \dfrac{100}{n} \leq
0{,}05 donne n ≥ 2000.

]]> n ≥ 400

]]> Erreur : n = 400 donne une borne \frac{100}{400} =
0{,}25 : cinq fois trop lâche pour l'objectif
0{,}05.

]]> n ≥ 20

]]> Erreur d'échelle : avec n = 20, la borne vaut 5 :
totalement vide. La double exigence (écart fin ET risque
faible) coûte cher en taille.

]]> Aucun n ne suffit

]]> Erreur : la borne 100/n fond avec n : tout
objectif est atteignable, ici dès n = 2000.

]]> Concentration et loi des grands nombres — Q18 : La fréquence vise juste F est la fréquence de succès sur n tirages indépendants
de probabilité p. Que vaut E(F) ?

]]> E(F) = p et V(F) = p(1-p)/n : viser juste
(espérance) et trembler de moins en moins (variance en
1/n) : les deux moteurs de la loi des grands
nombres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(F) = p : la fréquence vise la bonne cible, quelle
que soit la taille n

]]> Bonne réponse : F = X/n avec X binomiale :
E(F) = np/n = p : l'estimateur est sans
biais ; n ne joue que sur la dispersion autour de
p.

]]> E(F) = np

]]> Division oubliée : np est l'espérance du nombre de
succès X ; la fréquence divise par n : E(F) = p.

]]> E(F) se rapproche de p seulement quand n grandit

]]> Nuance mal placée : l'espérance vaut exactement p
dès n = 1 : c'est la fréquence observée (pas son
espérance) qui converge quand n grandit.

]]> E(F) = p/n

]]> Erreur : p/n tendrait vers 0 : la fréquence
moyenne serait systématiquement trop basse. La division
par n s'applique à X, dont l'espérance est np.

]]>