$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Continuité Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la
dérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction
continue (suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ)), théorème des
valeurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,
méthode de dichotomie.

]]> Continuité — Q01 : Continuité en un point Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a.
Que signifie « f est continue en a » ?

]]> Définition : f est continue en a si
\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Trois exigences en une : la
fonction est définie en a, la limite existe, et les deux
coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)

]]> Bonne réponse : la limite en a existe et coïncide avec
la valeur f(a). Graphiquement, la courbe se trace sans
lever le crayon au voisinage de a.

]]> f est définie en a

]]> Insuffisant : une fonction peut être définie en a avec un
saut (par exemple f(x) = -1 si x < 0, f(x) = 1 si
x ≥ 0, définie en 0 mais discontinue).

]]> \lim\limits_{x \to a} f(x) existe

]]> Incomplet : il faut de plus que cette limite soit égale
à f(a). Une limite existante mais différente de f(a)
laisse un point décroché.

]]> f est dérivable en a

]]> Erreur de sens : la dérivabilité entraîne la continuité,
mais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse
(valeur absolue en 0).

]]> Continuité — Q02 : Continuité et dérivabilité Quelle affirmation est vraie ?

]]> Hiérarchie à retenir : dérivable ⇒ continue, mais
continue \not\Rightarrow dérivable. Contre-exemple canonique :
x ↦ |x| en 0 (continue, point anguleux).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle

]]> Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité
est une exigence plus forte que la continuité.

]]> Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle

]]> Faux : x ↦ |x| est continue sur ℝ mais
pas dérivable en 0 (la courbe a un point anguleux).

]]> Continuité et dérivabilité sont équivalentes

]]> Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur
absolue est continue partout sans être dérivable en 0.

]]> Une fonction continue n'est jamais dérivable

]]> Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,
exponentielle…) sont continues. Les deux propriétés
coexistent très souvent.

]]> Continuité — Q03 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur [1 ; 4] avec f(1) = -2 et
f(4) = 5. Que peut-on affirmer sur l'équation f(x) = 0 ?

]]> TVI : si f est continue sur [a ; b], alors f prend
toute valeur comprise entre f(a) et f(b) au moins une fois.
Ici 0 ∈ [-2 ; 5], donc f(x) = 0 a au moins une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet au moins une solution dans [1 ; 4]

]]> Bonne réponse : 0 est compris entre f(1) = -2 et
f(4) = 5, et f est continue : le théorème des valeurs
intermédiaires garantit au moins un antécédent de 0.

]]> Elle admet exactement une solution dans [1 ; 4]

]]> Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser
l'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse
supplémentaire.

]]> Elle n'admet aucune solution

]]> Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une
valeur positive en restant continue ; elle ne peut pas
« sauter » par-dessus 0.

]]> On ne peut rien dire sans connaître l'expression de f

]]> Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs
intermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des
valeurs aux bornes, sans formule.

]]> Continuité — Q04 : Unicité de la solution Soit f continue et strictement croissante sur
[1 ; 4], avec f(1) = -2 et f(4) = 5. Que peut-on dire
de l'équation f(x) = 0 ?

]]> Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : f
continue et strictement monotone sur [a ; b], avec k
compris entre f(a) et f(b) : l'équation f(x) = k admet
une unique solution dans [a ; b].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une unique solution dans [1 ; 4]

]]> Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs
intermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la
fonction ne peut pas repasser deux fois par la même
valeur).

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Impossible : une fonction strictement croissante prend
chaque valeur au plus une fois ; deux antécédents de 0
contrediraient la croissance stricte.

]]> Elle peut ne pas avoir de solution

]]> Erreur : 0 est entre f(1) = -2 et f(4) = 5 et f est
continue : l'existence est garantie.

]]> La solution est x = 2{,}5, milieu de l'intervalle

]]> Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le
théorème donne existence et unicité, pas la valeur (on
l'approche ensuite, par exemple par dichotomie).

]]> Continuité — Q05 : L'hypothèse de continuité est essentielle Soit f définie sur [0 ; 2] (mais pas nécessairement
continue) avec f(0) = -1 et f(2) = 1. L'équation
f(x) = 0 a-t-elle forcément une solution ?

]]> Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la
continuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier
qui vaut -1 puis 1 change de signe sans s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : sans continuité, la fonction peut sauter par-dessus
0

]]> Bonne réponse : par exemple f(x) = -1 sur [0 ; 1[ et
f(x) = 1 sur [1 ; 2] change de signe sans jamais
s'annuler. La continuité est une hypothèse indispensable du
théorème.

]]> Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème exige la continuité. Sans elle, sa
conclusion s'effondre : une fonction en escalier change de
signe sans s'annuler.

]]> Oui, car f change de signe

]]> Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une
fonction continue. Une fonction discontinue peut passer
de -1 à 1 d'un coup.

]]> Oui, si de plus f est croissante

]]> Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut
sauter par-dessus 0 (escalier croissant de -1 à 1).
C'est bien la continuité qui interdit le saut.

]]> Continuité — Q06 : Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ Soit f une fonction continue sur ℝ et (uₙ) la
suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ). On suppose que (uₙ)
converge vers un réel \ell. Que vérifie \ell ?

]]> Si u_n \to \ell et f est continue en \ell, alors
f(u_n) \to f(\ell). Or f(u_n) = u_{n+1} \to \ell. Par
unicité de la limite : f(\ell) = \ell.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(\ell) = \ell

]]> Bonne réponse : par continuité de f, en passant à la
limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ), on obtient
\ell = f(\ell) : la limite est un point fixe de f.

]]> f(\ell) = 0

]]> Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de f. Le
passage à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ) donne
\ell = f(\ell), pas f(\ell) = 0.

]]> \ell = u_0

]]> Erreur : la suite évolue à partir de u₀, elle n'a aucune
raison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation
de point fixe.

]]> f'(\ell) = 0

]]> Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la
limite (et f n'est même pas supposée dérivable). La
propriété utilisée est la continuité.

]]> Continuité — Q07 : Une étape de dichotomie Soit f continue et strictement croissante sur [1 ; 2],
avec f(1) < 0 < f(2). On calcule f(1{,}5) < 0. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de f(x) = 0 ?

]]> Dichotomie : on évalue f au milieu m de l'intervalle. Si
f(m) a le même signe que la borne gauche, la racine est dans
[m ; b] ; sinon dans [a ; m]. Ici f(1{,}5) < 0 comme
f(1) : on garde [1{,}5\,;\,2].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [1{,}5\,;\,2]

]]> Bonne réponse : le changement de signe se produit entre
f(1{,}5) < 0 et f(2) > 0 : la racine est dans la moitié
droite.

]]> [1\,;\,1{,}5]

]]> Erreur de lecture des signes : sur [1\,;\,1{,}5], la
fonction reste négative aux deux bornes (f(1) < 0 et
f(1{,}5) < 0) : pas de traversée de zéro garantie là.

]]> [1{,}25\,;\,1{,}75]

]]> Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour
du milieu, elle choisit la moitié où le signe change.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de
f au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient
la racine.

]]> Continuité — Q08 : Continuité des fonctions usuelles Laquelle de ces fonctions est continue sur ℝ tout
entier ?

]]> Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les
fonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,
racine, inverse…). Pour être continue sur ℝ, il
faut d'abord être définie sur ℝ : seul le polynôme
convient ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ x³ - 2x + 1

]]> Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur
ℝ, comme les fonctions exponentielle, sinus et
cosinus.

]]> x ↦ 1/x

]]> Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en 0, elle
n'est donc pas continue sur ℝ (elle l'est sur
chacun des intervalles ]-∞ ; 0[ et
]0 ; +∞[).

]]> x ↦ √x

]]> Erreur : la racine carrée n'est définie que sur
[0 ; +∞[, elle ne peut pas être continue sur
ℝ entier.

]]> La fonction qui vaut -1 si x < 0 et 1 si x ≥ 0

]]> Erreur : cette fonction saute de -1 à 1 en 0 : elle
est définie sur ℝ mais discontinue en 0.

]]> Continuité — Q09 : Localiser la solution après un calcul Soit f continue et strictement croissante sur [0 ; 1],
avec f(0) = -1 et f(1) = 3. On note α l'unique
solution de f(x) = 0. Sachant que f(0{,}5) = 0{,}8, que
peut-on dire de α ?

]]> On encadre α par les points où f change de signe :
f(0) < 0 < f(0{,}5) et f strictement croissante donnent
\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[. Chaque nouvelle évaluation de f
resserre l'encadrement (principe de la dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[

]]> Bonne réponse : f(0) = -1 < 0 et f(0{,}5) = 0{,}8 > 0 :
le changement de signe (donc α) se situe entre 0 et
0{,}5.

]]> \alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[

]]> Erreur de lecture : f(0{,}5) = 0{,}8 > 0 signifie qu'en
0{,}5 la fonction a déjà dépassé 0. Comme elle
croît, elle s'est annulée avant.

]]> \alpha = 0{,}8

]]> Confusion : 0{,}8 est la valeur f(0{,}5), une
ordonnée. α est une abscisse, l'endroit où f
s'annule.

]]> \alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[

]]> Trop précis : le seul calcul disponible localise α
entre 0 et 0{,}5. Resserrer davantage exigerait
d'évaluer f en d'autres points.

]]> Continuité — Q10 : Image d'une suite convergente Soit f une fonction continue en 2 avec f(2) = 7, et
(uₙ) une suite qui converge vers 2. Que peut-on dire de la
suite (f(uₙ)) ?

]]> Propriété clé (au programme) : si uₙ → a et f est
continue en a, alors f(uₙ) → f(a). C'est elle qui
justifie le passage à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle converge vers 7

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la
continuité : uₙ → 2 et f continue en 2 entraînent
f(uₙ) → f(2) = 7.

]]> Elle converge vers 2

]]> Erreur : 2 est la limite des antécédents uₙ. La
suite des images f(uₙ) se rapproche de l'image de 2,
c'est-à-dire 7.

]]> Elle converge vers f(7)

]]> Erreur : 7 est déjà une image (f(2) = 7) ; il n'y a
aucune raison de réappliquer f.

]]> On ne peut rien dire sans monotonie de f

]]> Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en
2 suffit à transporter la convergence des uₙ vers
celle des f(uₙ).

]]> Continuité — Q11 : Nombre de solutions d'après un tableau de variations Une fonction f, continue sur [0 ; 4], croît strictement
de f(0) = -3 à f(2) = 5, puis décroît strictement de
f(2) = 5 à f(4) = 1. Combien l'équation f(x) = 0
admet-elle de solutions sur [0 ; 4] ?

]]> Méthode : appliquer le corollaire du TVI sur chaque intervalle
de monotonie, en vérifiant si 0 est compris entre les
valeurs aux bornes. Branche montante [-3 ; 5] : une
solution. Branche descendante [1 ; 5] : 0 n'y figure pas,
aucune solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : sur [0 ; 2], f passe de -3 à 5 en
croissant strictement : une unique solution. Sur
[2 ; 4], f reste entre 5 et 1, toujours
strictement positive : aucune solution.

]]> Exactement deux

]]> Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche
décroissante, f va de 5 à 1 sans traverser 0.
Il faut comparer 0 aux valeurs extrêmes de chaque branche.

]]> Aucune

]]> Erreur : sur [0 ; 2], f passe de -3 (négatif) à 5
(positif) en étant continue : elle s'annule forcément.

]]> Une infinité

]]> Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de
repasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions
se comptent branche par branche.

]]> Continuité — Q12 : Ce que dit exactement le théorème Soit f continue sur [a ; b]. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le TVI est un théorème d'existence : chaque valeur
intermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni
unicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut
des calculs, par exemple une dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte
au moins une fois sur [a ; b]

]]> Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur
intermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur
position.

]]> Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte
exactement une fois

]]> Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être
atteinte plusieurs fois (courbe qui oscille).

]]> f ne prend aucune valeur en dehors de
[f(a) ; f(b)]

]]> Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à
l'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le
théorème parle des valeurs intermédiaires, pas d'un
encadrement de f.

]]> f est strictement monotone sur [a ; b]

]]> Erreur : la monotonie est une hypothèse supplémentaire
qu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même
n'en dit rien.

]]> Continuité — Q13 : Une fonction en escalier La fonction partie entière (qui à x associe le plus grand
entier inférieur ou égal à x) est-elle continue en 2 ?

]]> La partie entière est en escalier : discontinue en chaque
entier (saut de hauteur 1), continue partout ailleurs.
L'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique
pas « continue ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle saute de 1 à 2 en x = 2

]]> Bonne réponse : juste avant 2 (x = 1{,}99), elle
vaut 1 ; en 2, elle vaut 2 : le saut interdit de
tracer la courbe sans lever le crayon.

]]> Oui : elle est définie en 2

]]> Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité
exige que les valeurs voisines rejoignent la valeur
au point, or à gauche elles restent à 1.

]]> Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues

]]> Erreur : la partie entière est justement LE
contre-exemple usuel : continue nulle part sur les
entiers.

]]> Non, car elle n'est pas définie en 2

]]> Diagnostic faux : elle est parfaitement définie
(\lfloor 2 \rfloor = 2) : c'est le saut à gauche
qui casse la continuité.

]]> Continuité — Q14 : Continuité d'une composée usuelle Pourquoi la fonction f(x) = e^{x^2 + 1} est-elle continue
sur ℝ ?

]]> Boîte à outils : polynômes, eˣ, ln, √\,
sin, cos sont continues sur leur domaine, et sommes,
produits, quotients (dénominateur non nul), composées de
continues restent continues : la justification standard
tient en une ligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la composée de fonctions continues (un polynôme,
puis l'exponentielle)

]]> Bonne réponse : polynômes et exponentielle sont continus
sur ℝ, et la composition préserve la
continuité : aucun calcul de limite nécessaire.

]]> Parce qu'elle est strictement positive

]]> Sans rapport : le signe d'une fonction ne dit rien de sa
continuité (la partie entière décalée peut être positive
et discontinue).

]]> Parce qu'elle est définie partout

]]> Insuffisant : la partie entière aussi est définie
partout : c'est la stabilité par composition des
fonctions continues qui conclut.

]]> Il faudrait vérifier la limite en chaque point

]]> Économie manquée : les théorèmes d'opérations (somme,
produit, composée de continues) évitent exactement ce
travail point par point.

]]> Continuité — Q15 : Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$ Soit f(x) = x³ + x - 1. Pourquoi l'équation f(x) = 0
admet-elle une solution dans [0\ ;\ 1] ?

]]> Schéma de rédaction TVI : 1) f continue ; 2) f(a) et
f(b) calculées, de signes opposés ; 3) conclusion
d'existence. (Ici f' = 3x² + 1 > 0 offre en prime
l'unicité : corollaire du TVI.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f est continue, f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0 : le
TVI conclut

]]> Bonne réponse : le trio complet : continuité + valeurs
de signes opposés aux bornes : la courbe doit traverser
l'axe entre 0 et 1.

]]> f(0{,}5) = 0 exactement

]]> Faux : f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 : le
TVI garantit l'existence sans exhiber la valeur.

]]> Tout polynôme s'annule quelque part

]]> Faux en général : x² + 1 ne s'annule jamais. C'est le
changement de signe observé qui fait fonctionner le
théorème.

]]> Parce que f est croissante

]]> Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro
(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la
croissance ajoutera l'unicité.

]]> Continuité — Q16 : Encadrer la solution par balayage f est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0 et
f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0. Que peut-on conclure sur la
solution α de f(x) = 0 ?

]]> Balayage : tableau de valeurs au pas 10⁻ⁿ, repérer le
changement de signe : encadrement d'amplitude 10⁻ⁿ.
(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par 2
à chaque étape.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}32 < \alpha < 1{,}33 : un encadrement d'amplitude
10⁻²

]]> Bonne réponse : changement de signe entre deux valeurs
consécutives du balayage : α est coincé dans cet
intervalle : encadrement au centième.

]]> \alpha = 1{,}325 exactement

]]> Trop précis : le milieu de l'intervalle est une
approximation raisonnable, pas la valeur exacte : le
balayage ne donne que des encadrements.

]]> \alpha = 1{,}33, la valeur où f devient positive

]]> Erreur : f(1{,}33) > 0 strictement : le zéro est
franchi avant 1{,}33, quelque part dans
l'intervalle.

]]> Rien : la calculatrice ne prouve rien

]]> Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les
calculs de la machine fournissent un encadrement
parfaitement rigoureux.

]]> Continuité — Q17 : Le corollaire du TVI f est continue et strictement croissante sur
[2\ ;\ 5], avec f(2) = -3 et f(5) = 4. Combien de
solutions l'équation f(x) = 1 a-t-elle dans [2\ ;\ 5] ?

]]> Corollaire du TVI (théorème de la bijection) : continue +
strictement monotone sur [a\ ;\ b] : pour tout k entre
f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a exactement UNE
solution. Le mot « exactement » vaut des points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une, car 1 est compris entre -3 et 4

]]> Bonne réponse : existence par le TVI (1 ∈ [-3\ ;\ 4]), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne
peut pas repasser deux fois par la même valeur).

]]> Au moins une, peut-être plusieurs

]]> Version faible : c'est le TVI sans monotonie ; la
stricte croissance interdit tout second passage :
exactement une.

]]> Aucune : 1 n'est ni f(2) ni f(5)

]]> Contresens du théorème : le TVI affirme justement que
les valeurs intermédiaires entre f(2) et f(5)
sont toutes atteintes.

]]> Deux : une en montant, une en descendant

]]> Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement
croissante) : un seul franchissement du niveau 1.

]]> Continuité — Q18 : Sans continuité, le TVI s'effondre Une fonction f définie sur [0\ ;\ 2] vérifie f(0) = -1
et f(2) = 1, mais l'équation f(x) = 0 n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?

]]> L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle
qui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.
Toute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,
sous peine d'appliquer un théorème faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f n'est pas continue : elle saute par-dessus la valeur
0

]]> Bonne réponse : sans continuité, rien n'oblige à passer
par les valeurs intermédiaires : une fonction en
escalier (par exemple -1 puis 1) enjambe le zéro.

]]> C'est impossible : le TVI l'interdit

]]> Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues :
l'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est
pas.

]]> f n'est pas définie en 0

]]> Contradiction avec l'énoncé : f(0) = -1 : elle est
définie ; c'est la continuité, pas la définition, qui
manque.

]]> f prend des valeurs complexes entre les deux

]]> Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs
réelles : l'explication est le saut d'une fonction
discontinue.

]]>