$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Combinatoire et dénombrement Principes additif et multiplicatif, k-uplets d'un ensemble
(nᵏ), k-uplets d'éléments distincts, permutations et
factorielle, nombre de parties d'un ensemble (2ⁿ),
combinaisons \binom{n}{k}, symétrie et triangle de Pascal,
modélisation (mots, chemins, tirages).

]]> Combinatoire et dénombrement — Q01 : Principe multiplicatif Un menu se compose d'une entrée choisie parmi 3 et d'un plat
choisi parmi 4. Combien de menus différents peut-on
composer ?

]]> Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à
n₁, puis n₂ choix, offre n₁ × n₂ possibilités.
Le principe additif (+) sert pour des cas disjoints (l'un
ou l'autre).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :
3 × 4 = 12 menus (principe multiplicatif).

]]> 7

]]> Erreur : 3 + 4 compterait un choix ou l'autre
(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit
une entrée et un plat : on multiplie.

]]> 3⁴

]]> Erreur : 3⁴ = 81 compterait 4 choix successifs parmi
3 options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi 3,
puis un parmi 4.

]]> 4³

]]> Erreur : 4³ = 64 compterait 3 choix successifs parmi
4 options. La situation n'a que deux étapes :
3 × 4.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q02 : Permutations De combien de façons peut-on aligner 5 livres distincts sur
une étagère ?

]]> Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est
n! = n × (n-1) × ⋯ × 1. Ici 5! = 120.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5! = 120

]]> Bonne réponse : 5 choix pour la première place, 4 pour
la deuxième, etc. : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 permutations.

]]> 5⁵ = 3125

]]> Erreur : 5⁵ autoriserait de replacer le même livre à
plusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule
fois, les choix diminuent à chaque étape : c'est 5!.

]]> 25

]]> Erreur : 5 × 5 ne modélise que deux étapes avec
remise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :
5!.

]]> 5

]]> Erreur : 5 est le nombre de choix pour la première
place seulement. Chaque place suivante multiplie encore les
possibilités.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q03 : $k$-uplets avec répétition Combien existe-t-il de codes à 4 chiffres (chaque chiffre
allant de 0 à 9) ?

]]> Nombre de k-uplets d'un ensemble à n éléments (répétitions
autorisées) : nᵏ. Ici 10⁴ = 10 000 codes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁴ = 10 000

]]> Bonne réponse : 10 choix pour chacune des 4 positions,
répétitions permises : 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ (4-uplets d'un ensemble à 10 éléments).

]]> 4¹⁰

]]> Exposant inversé : la base est le nombre d'options par
position (10), l'exposant le nombre de positions (4).
4¹⁰ compterait des mots de 10 lettres sur 4
symboles.

]]> 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040

]]> Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous
distincts). Or un code comme 7 7 2 2 est permis :
10⁴.

]]> 40

]]> Erreur : 10 × 4 ne correspond à aucun principe de
dénombrement ici. Les choix se multiplient position par
position : 10⁴.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q04 : $k$-uplets d'éléments distincts Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums
possibles (premier, deuxième, troisième) ?

]]> Nombre de k-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à
n éléments : n × (n-1) × ⋯ × (n-k+1).
Ici 8 × 7 × 6 = 336 : l'ordre compte, pas de
répétition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 × 7 × 6 = 336

]]> Bonne réponse : les places sont ordonnées et un coureur
n'occupe qu'une place : 8 choix pour l'or, 7 pour
l'argent, 6 pour le bronze.

]]> 8³ = 512

]]> Erreur : 8³ autoriserait un même coureur sur plusieurs
marches. Les éléments doivent être distincts : les
choix décroissent, 8 × 7 × 6.

]]> \dbinom{8}{3} = 56

]]> Erreur : la combinaison ignore l'ordre, elle compterait
les trios de médaillés sans distinguer or, argent, bronze.
Un podium est ordonné : 56 × 3! = 336.

]]> 24

]]> Erreur : 24 = 3! est le nombre de façons d'ordonner un
trio déjà choisi. Il faut aussi choisir le trio parmi
les huit coureurs.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q05 : Choisir sans ordre Combien de façons y a-t-il de choisir 3 délégués parmi 8
élèves (les trois rôles étant identiques) ?

]]> Une combinaison compte les parties à k éléments d'un
ensemble à n éléments : \binom{n}{k} =
\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. L'ordre du choix ne compte
pas. Ici \binom{8}{3} = 56.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{8}{3} = 56

]]> Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le
groupe compte : c'est une combinaison,
\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = 56.

]]> 336

]]> Erreur : 8 × 7 × 6 compte les choix
ordonnés. Chaque groupe de 3 y apparaît 3! = 6
fois : il faut diviser, 336 / 6 = 56.

]]> 24

]]> Erreur : 24 = 8 × 3 ne correspond à aucun
dénombrement de la situation. La formule est
\binom{8}{3} = 56.

]]> 512

]]> Erreur : 8³ compte des triplets avec répétition (un
élève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une
partie à 3 éléments : \binom{8}{3}.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q06 : Nombre de parties d'un ensemble Combien un ensemble à 5 éléments possède-t-il de parties
(sous-ensembles, y compris ∅ et lui-même) ?

]]> Un ensemble à n éléments a 2ⁿ parties : chaque élément est
indépendamment retenu ou écarté. C'est aussi
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁵ = 32

]]> Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités
(dedans ou dehors), d'où 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 parties.

]]> 5² = 25

]]> Exposant et base inversés : c'est 2 choix (présent ou
absent) répété 5 fois, donc 2⁵, pas 5².

]]> 5! = 120

]]> Erreur : la factorielle compte les ordres (les
permutations). Une partie n'est pas ordonnée : 2⁵ = 32.

]]> 10

]]> Erreur : 10 = \binom{5}{2} ne compte que les parties à
deux éléments. Il faut toutes les tailles, de 0 à
5 : 32 en tout.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q07 : Calculer $\dbinom{6}{2}$ Que vaut \dbinom{6}{2} ?

]]> \binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}. Ici
6 × 5/2 = 15 : quinze paires possibles parmi
six éléments.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Bonne réponse : \binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!} =
\dfrac{30}{2} = 15.

]]> 30

]]> Oubli de la division par 2! : 6 × 5 = 30 compte
les couples ordonnés. Chaque paire y figure deux fois :
30/2 = 15.

]]> 12

]]> Erreur : 6 × 2 = 12 n'est pas la formule. On
calcule 6 × 5/2 = 15.

]]> 720

]]> Erreur : 720 = 6! compte toutes les permutations de 6
éléments, pas les paires. \binom{6}{2} =
\dfrac{6!}{2!\,4!} = 15.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q08 : Utiliser la symétrie des combinaisons Que vaut \dbinom{10}{8} ?

]]> Symétrie : \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, car choisir les
élus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le
petit indice : \binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{10}{2} = 45

]]> Bonne réponse : par symétrie \binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k} : choisir les 8 retenus revient à choisir
les 2 écartés. \binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} =
45.

]]> 90

]]> Oubli de la division par 2! : 10 × 9 = 90 compte
les couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par 2.

]]> 80

]]> Erreur : 10 × 8 n'est pas une formule de
combinaison. Le raccourci est la symétrie :
\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45.

]]> 5

]]> Erreur : 10 - 8 + 3 ? Aucun calcul simple ne donne 5.
Symétrie puis formule : \binom{10}{2} = 45.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q09 : Relation de Pascal Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour
0 ≤ k ≤ n - 1) ?

]]> Relation de Pascal : \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} =
\binom{n+1}{k+1}. Interprétation combinatoire : pour choisir
k+1 objets parmi n+1, on sépare les choix contenant ou non
un objet fixé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}

]]> Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal
est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus
de lui.

]]> \dbinom{n}{k} \times \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}

]]> Erreur : la relation est additive (une somme), pas
multiplicative. Teste : \binom{2}{0} + \binom{2}{1} = 3 =
\binom{3}{1}.

]]> \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k+2}

]]> Erreur : la somme fait passer à la ligne suivante du
triangle (n+1), pas deux cases plus loin sur la même
ligne.

]]> \dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k} \times n

]]> Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité
est fausse en général : \binom{4}{2} = 6 \neq
\binom{3}{2} \times 4 = 12).

]]> Combinatoire et dénombrement — Q10 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal Que vaut la somme
\dbinom{5}{0} + \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3}
+ \dbinom{5}{4} + \dbinom{5}{5} ?

]]> \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n : regrouper les parties d'un
ensemble à n éléments par taille k redonne le nombre total
de parties. Pour n = 5 : 1+5+10+10+5+1 = 32.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁵ = 32

]]> Bonne réponse : \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n
(démonstration au programme : on compte les parties d'un
ensemble à n éléments de deux façons).

]]> 25

]]> Erreur : 5² inverse base et exposant. La somme d'une
ligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est
2ⁿ.

]]> 31

]]> Presque : 31 = 2⁵ - 1 oublie un terme (souvent
\binom{5}{0} = 1, la partie vide). La somme complète vaut
32.

]]> 64

]]> Erreur : 64 = 2⁶ est la somme de la ligne suivante
(n = 6). Pour n = 5 : 2⁵ = 32.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q11 : Mots binaires à nombre de « 1 » fixé Combien existe-t-il de mots de longueur 6 formés de 0 et de
1 contenant exactement deux « 1 » ?

]]> Lien fondamental du programme : les mots de longueur n sur
\{0\,;\,1\} ayant exactement k « 1 » sont au nombre de
\binom{n}{k} (choix des positions). C'est le même comptage
que les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{6}{2} = 15

]]> Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par le
choix des 2 positions des « 1 » parmi les 6 :
\binom{6}{2} = 15.

]]> 2⁶ = 64

]]> Erreur : 2⁶ compte tous les mots de longueur 6,
sans contrainte sur le nombre de « 1 ». La contrainte
réduit à \binom{6}{2}.

]]> 6 × 5 = 30

]]> Erreur : ce produit ordonne les deux positions (première
puis deuxième), comptant chaque mot deux fois. Il faut
diviser par 2 : 15.

]]> 12

]]> Erreur : 6 × 2 ne modélise pas le choix des
positions. Le bon objet est une combinaison :
\binom{6}{2} = 15.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q12 : Tirage simultané On tire simultanément 2 cartes dans un jeu de 32
cartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

]]> Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » = sans ordre =
combinaisons ; « successivement sans remise » = k-uplets
distincts ; « avec remise » = k-uplets quelconques (nᵏ).
Ici : \binom{32}{2} = 496.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{32}{2} = 496

]]> Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :
on compte les paires, \binom{32}{2} =
\dfrac{32 \times 31}{2} = 496.

]]> 32 × 31 = 992

]]> Erreur : ce produit compte les tirages successifs sans
remise (ordre retenu). En tirage simultané, la paire
{as, roi} et {roi, as} sont le même tirage : on divise par
2.

]]> 32² = 1024

]]> Erreur : 32² compte les tirages successifs avec
remise (la même carte pouvant sortir deux fois), ce qui
est impossible simultanément.

]]> 64

]]> Erreur : 32 × 2 ne correspond à aucun principe de
comptage. Paires parmi 32 : \binom{32}{2} = 496.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q13 : La convention $0! = 1$ Que vaut 0! ?

]]> 0! = 1 : le produit de zéro facteur vaut 1 (élément
neutre de la multiplication). Indispensable pour
\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 : les cas extrêmes des
formules.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement
une façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle
fait marcher toutes les formules (\binom{n}{0} =
\frac{n!}{0!\,n!} = 1).

]]> 0

]]> Erreur : avec 0! = 0, toutes les formules en
factorielle diviseraient par zéro : la convention
0! = 1 est justement choisie pour les sauver.

]]> Non défini

]]> Erreur : 0! est parfaitement défini, par convention
égale à 1 : le produit vide vaut 1 (comme une somme
vide vaut 0).

]]> -1

]]> Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :
jamais négative.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q14 : Les poignées de main Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien
de poignées de main sont échangées ?

]]> Choisir 2 objets parmi n sans ordre : \binom{n}{2} =
\frac{n(n-1)}{2}. Modèle des poignées de main, des matchs
d'un tournoi, des segments joignant n points…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{8}{2} = 28

]]> Bonne réponse : une poignée de main = une paire de
personnes, sans ordre : \binom{8}{2} = \frac{8 \times
7}{2} = 28.

]]> 8 × 7 = 56

]]> Double comptage : 56 compte les paires ordonnées
(Alice-Bob et Bob-Alice) : une poignée de main n'a pas
de sens : diviser par 2.

]]> 8² = 64

]]> Erreur : 64 inclut les couples ordonnés ET les
« poignées avec soi-même » : la bonne structure est la
paire non ordonnée d'éléments distincts.

]]> 8! = 40320

]]> Erreur : 8! ordonne les huit personnes en file : rien
à voir avec le choix de 2 personnes parmi 8.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q15 : Le podium Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums
(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?

]]> Ordre + sans répétition = k-uplet d'éléments distincts :
n(n-1)⋯(n-k+1). La question à se poser d'abord :
l'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →
combinaison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 × 9 × 8 = 720

]]> Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,
et l'ordre compte (or, argent, bronze) : un
3-uplet d'éléments distincts.

]]> \dbinom{10}{3} = 120

]]> Ordre perdu : 120 compte les groupes de trois
médaillés sans distinguer or, argent, bronze : chaque
groupe donne 3! = 6 podiums : 120 × 6 = 720.

]]> 10³ = 1000

]]> Répétition indue : 1000 autorise le même coureur aux
trois places : impossible dans une course.

]]> 10 + 9 + 8 = 27

]]> Erreur : les choix successifs se multiplient
(principe multiplicatif), ils ne s'additionnent pas.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q16 : Compter par le complémentaire Combien de mots binaires de longueur 5 contiennent au
moins un 1 ?

]]> « Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au
lieu d'une somme de cinq termes (\binom{5}{1} + \dots +
\binom{5}{5} = 31, le contrôle). Réflexe valable tel quel
en probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁵ - 1 = 31

]]> Bonne réponse : le total (2⁵ = 32) moins le seul mot
sans aucun 1 (00000) : « au moins un » se compte
presque toujours par le complémentaire.

]]> 2⁵ = 32

]]> Un mot de trop : 00000 ne contient aucun 1 : il faut
le retirer du total.

]]> 5

]]> Erreur : 5 compte les mots avec exactement un 1
(\binom{5}{1}) : « au moins un » englobe un, deux…
jusqu'à cinq 1.

]]> 2⁴ = 16

]]> Erreur : fixer un 1 quelque part ne modélise pas « au
moins un » (surcomptage et sous-comptage mêlés). La voie
sûre : total moins le cas interdit.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q17 : Anagrammes de MATHS Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former
avec les lettres du mot MATHS ?

]]> Permutation de n objets distincts : n!. (Avec des
lettres répétées, on diviserait par les factorielles des
répétitions : hors programme, mais la question tombe avec
des lettres distinctes.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5! = 120

]]> Bonne réponse : cinq lettres toutes distinctes à
ordonner : une permutation de 5 objets, soit 5! = 120.

]]> 5⁵ = 3125

]]> Répétition indue : 5⁵ autorise MMMMM : chaque lettre
ne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance.

]]> \dbinom{5}{5} = 1

]]> Erreur : la combinaison choisit sans ordonner :
choisir les 5 lettres parmi 5, certes une façon,
mais l'anagramme est un ordre : 5!.

]]> 5 × 4 = 20

]]> Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

]]> Combinatoire et dénombrement — Q18 : Comité avec contrainte Un groupe compte 5 filles et 4 garçons. Combien de
comités de 3 personnes contiennent exactement 2 filles ?

]]> Schéma « exactement k de type A » : \binom{|A|}{k} \times
\binom{|B|}{r-k} : combinaison dans chaque catégorie,
produit entre catégories. La structure exacte des questions
de loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{5}{2} \times \dbinom{4}{1} = 10 \times 4 = 40

]]> Bonne réponse : deux choix indépendants : les 2 filles
parmi 5, puis le garçon parmi 4 : le principe
multiplicatif assemble les deux.

]]> \dbinom{9}{3} = 84

]]> Contrainte ignorée : 84 compte tous les comités de
3, y compris ceux à 0, 1 ou 3 filles.

]]> \dbinom{5}{2} + \dbinom{4}{1} = 14

]]> Addition au lieu de multiplication : on choisit les
filles et le garçon : étapes successives = produit
(la somme servirait pour des cas exclusifs).

]]> \dbinom{5}{2} = 10

]]> Incomplet : le comité a 3 membres : après les 2
filles, il reste à choisir le garçon (4 façons).

]]>