$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Dérivation et convexitéDérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée
eᵘ), tangente, lien signe de la dérivée / variations,
convexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,
points d'inflexion, inégalités de convexité.]]>Dérivation et convexité — Q01 : Dérivée de $x^3$Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ
par f(x) = x³ ?]]>Formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ : l'exposant descend en facteur et
diminue de 1. Donc (x³)' = 3x².]]>1.00.00truetrueabcf'(x) = 3x²]]>Bonne réponse : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹, ici n = 3 donne
3x².]]>f'(x) = x²]]>Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.
(x³)' = 3x², pas x².]]>f'(x) = 3x³]]>Erreur : l'exposant doit diminuer de 1. On multiplie
par 3 puis on passe à x².]]>f'(x) = x⁴/4]]>Erreur de sens : x⁴/4 est une primitive de
x³, c'est l'opération inverse de la dérivation.]]>Dérivation et convexité — Q02 : Équation de la tangenteSoit f dérivable en a. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de f au point d'abscisse a ?]]>Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). Elle passe par
(a ; f(a)) et a pour coefficient directeur le nombre dérivé
f'(a).]]>1.00.00truetrueabcy = f'(a)(x - a) + f(a)]]>Bonne réponse : droite de pente f'(a) passant par le point
(a ; f(a)).]]>y = f(a)(x - a) + f'(a)]]>Erreur d'échange : la pente est le nombre dérivé
f'(a), et le point de passage a pour ordonnée f(a), pas
l'inverse.]]>y = f'(a) x + f(a)]]>Erreur : il manque le décalage -a. Cette droite passe par
(0 ; f(a)) et non par le point de tangence
(a ; f(a)) (sauf si a = 0).]]>y = f'(x)(x - a) + f(a)]]>Erreur : la pente d'une tangente est un nombre, f'(a),
évalué au point de tangence. Avec f'(x), l'équation ne
décrit plus une droite.]]>Dérivation et convexité — Q03 : Dérivée d'un produitSoient u et v deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit uv ?]]>Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'. À distinguer de la somme
((u+v)' = u' + v') et du quotient
((u/v)' = u'v - uv'/v²).]]>1.00.00truetrueabc(uv)' = u'v + uv']]>Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,
l'autre restant intact, puis on additionne.]]>(uv)' = u'v']]>Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Contre-exemple :
(x · x)' = 2x alors que x' · x' = 1.]]>(uv)' = u'v - uv']]>Erreur de signe : le moins apparaît dans la dérivée d'un
quotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit.]]>(uv)' = u' + v']]>Erreur : u' + v' est la dérivée de la somme u + v.
Le produit suit la règle u'v + uv'.]]>Dérivation et convexité — Q04 : Dérivée de $e^{2x}$Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ
par f(x) = e²ˣ ?]]>(eᵘ)' = u' eᵘ. Avec u(x) = 2x :
f'(x) = 2 e²ˣ.]]>1.00.00truetrueabcf'(x) = 2 e²ˣ]]>Bonne réponse : (eᵘ)' = u' eᵘ avec u(x) = 2x et
u'(x) = 2.]]>f'(x) = e²ˣ]]>Oubli du facteur u' : seule eˣ est sa propre dérivée.
Pour e²ˣ, la dérivation fait sortir le facteur 2.]]>f'(x) = 2 eˣ]]>Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde
e²ˣ et on multiplie par u' = 2.]]>f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}]]>Erreur : tu as appliqué la règle des puissances
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ à une exponentielle. Ici la variable est
en exposant : la règle est (eᵘ)' = u'eᵘ.]]>Dérivation et convexité — Q05 : Du signe de $f'$ aux variationsSoit f dérivable sur ℝ avec
f'(x) = (x - 2)(x + 1). Sur quel intervalle f est-elle
décroissante ?]]>f'(x) = (x-2)(x+1) est négatif exactement entre ses racines
-1 et 2 (trinôme à coefficient dominant positif). Donc f
est décroissante sur [-1 ; 2] et croissante ailleurs.]]>1.00.00truetrueabcSur [-1 ; 2]]]>Bonne réponse : f' est un trinôme de racines -1 et 2
avec coefficient dominant positif : f' < 0 entre ses
racines, donc f décroît sur [-1 ; 2].]]>Sur ]-∞ ; -1]]]>Erreur : pour x < -1, les deux facteurs sont négatifs et
leur produit est positif : f y est croissante.]]>Sur [2 ; +∞[]]>Erreur : pour x > 2, les deux facteurs sont positifs,
donc f' > 0 et f croît.]]>Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif]]>Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive ici pour
-1 < x < 2.]]>Dérivation et convexité — Q06 : Convexité et dérivée secondeSoit f deux fois dérivable sur un intervalle I. À quelle
condition f est-elle convexe sur I ?]]>Hiérarchie à retenir : le signe de f dit où est la courbe, le
signe de f' dit si elle monte, le signe de f'' dit comment
elle tourne : f'' ≥ 0 sur I ⇔ f convexe
sur I.]]>1.00.00truetrueabcf''(x) ≥ 0 pour tout x de I]]>Bonne réponse : f convexe sur I équivaut à f'' positive
sur I (c'est-à-dire f' croissante).]]>f''(x) ≤ 0 pour tout x de I]]>Erreur : f'' ≤ 0 caractérise la concavité. Moyen
mémo : la parabole x² est convexe et (x²)'' = 2 > 0.]]>f'(x) ≥ 0 pour tout x de I]]>Erreur : f' ≥ 0 donne la croissance, pas la
convexité. Une fonction peut être décroissante et convexe
(comme e⁻ˣ).]]>f(x) ≥ 0 pour tout x de I]]>Erreur : le signe de f elle-même n'a aucun lien avec sa
forme. La convexité parle de la courbure, lue sur f''.]]>Dérivation et convexité — Q07 : Point d'inflexionSoit f deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
f admette un point d'inflexion en x = a ?]]>Point d'inflexion ⇔ changement de convexité
⇔ f'' change de signe. L'annulation seule de
f'' ne suffit pas (x⁴ en 0).]]>1.00.00truetrueabcQue f'' s'annule en a en changeant de signe]]>Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure
(convexe/concave), donc un changement de signe de f''.]]>Que f''(a) = 0, cela suffit]]>Piège classique : pour f(x) = x⁴, f''(0) = 0 mais
f'' = 12x² ≥ 0 ne change pas de signe : pas
d'inflexion en 0, la courbe reste convexe.]]>Que f'(a) = 0]]>Erreur : f'(a) = 0 signale une tangente horizontale
(extremum possible), pas un changement de courbure.]]>Que la tangente en a soit horizontale]]>Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point
d'inflexion, la tangente traverse la courbe, qu'elle
soit horizontale ou non.]]>Dérivation et convexité — Q08 : Lire la convexité sur une courbe[Figure : Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte
jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum
local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée
vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite
de 0.]
La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente la fonction f
définie par f(x) = x³ - 3x. Sur quel intervalle f
est-elle convexe ?
]]>Graphiquement, f est convexe là où sa courbe est tournée vers
le haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.
Par le calcul : f''(x) = 6x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.]]>1.00.00truetrueabcSur [0 ; +∞[]]>Bonne réponse : à droite de 0, la courbe « tient l'eau »
(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses
tangentes. Par le calcul : f''(x) = 6x ≥ 0 pour
x ≥ 0.]]>Sur ]-∞ ; 0]]]>Erreur : à gauche de 0 la courbe est bombée vers le haut,
sous ses tangentes : c'est la partie concave
(f''(x) = 6x ≤ 0).]]>Sur [-1 ; 1]]]>Erreur : -1 et 1 sont les abscisses des extremums
locaux (lus sur f'), pas des changements de courbure. La
courbure change en 0.]]>Nulle part : la fonction n'est pas convexe]]>Erreur : la convexité se juge par intervalle. Cette
courbe est concave sur ]-∞ ; 0] puis convexe sur
[0 ; +∞[.]]>Dérivation et convexité — Q09 : Lire un point d'inflexion[Figure : Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte
jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum
local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée
vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite
de 0.]
La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente
f(x) = x³ - 3x. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?
]]>f''(x) = 6x s'annule en 0 en changeant de signe :
l'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses -1 et
1 correspondent aux extremums (signe de f'), un autre étage
de lecture.]]>1.00.00truetrueabcAu point d'abscisse 0 uniquement]]>Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en
x = 0 (f''(x) = 6x s'y annule en changeant de signe).]]>Aux points d'abscisses -1 et 1]]>Confusion classique : -1 et 1 sont les extremums
locaux (annulation de f'). L'inflexion concerne f'',
qui change de signe en 0.]]>Au point d'abscisse 1 uniquement]]>Erreur : en x = 1 la fonction atteint un minimum local ;
la courbe y reste convexe, sans changement de courbure.]]>Elle n'en admet aucun]]>Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :
bombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La
tangente en 0 traverse la courbe.]]>Dérivation et convexité — Q10 : Position par rapport aux tangentesSoit f une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
I. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur I ?]]>Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes
ses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,
c'est l'inverse.]]>1.00.00truetrueabcAu-dessus de chacune de ses tangentes]]>Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la
convexité pour une fonction dérivable.]]>En dessous de chacune de ses tangentes]]>Erreur : c'est la propriété des fonctions concaves.
Pense à x² : sa parabole domine toutes ses tangentes.]]>Elle traverse chacune de ses tangentes]]>Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un point d'inflexion, impossible au sein d'un intervalle de
stricte convexité.]]>Au-dessus de ses sécantes]]>Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes mais en dessous de ses cordes (sécantes) :
les deux se répondent.]]>Dérivation et convexité — Q11 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$Que peut-on dire de l'inégalité eˣ ≥ 1 + x ?]]>y = 1 + x est la tangente en 0 à la courbe de exp
(pente e⁰ = 1, point (0 ; 1)). Comme exp est convexe
((eˣ)'' = eˣ > 0), sa courbe est au-dessus de cette tangente
partout : eˣ ≥ 1 + x pour tout x, avec égalité en 0.]]>1.00.00truetrueabcElle est vraie pour tout réel x : la courbe de exp,
convexe, est au-dessus de sa tangente en 0]]>Bonne réponse : y = 1 + x est la tangente à la courbe de
l'exponentielle au point (0 ; 1), et exp est convexe
sur ℝ : sa courbe domine toutes ses tangentes.]]>Elle est vraie uniquement pour x ≥ 0]]>Erreur : teste x = -2 : e^{-2} \approx 0{,}14 et
1 + (-2) = -1. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,
et en fait partout par convexité.]]>Elle est fausse : c'est eˣ ≤ 1 + x qui est vraie]]>Erreur de sens : en x = 1, e \approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1.
La courbe convexe est au-dessus de sa tangente.]]>Elle est vraie seulement au voisinage de 0]]>Erreur : la tangence a lieu en 0 (égalité), mais la
convexité de exp rend l'inégalité globale, valable
sur tout ℝ.]]>Dérivation et convexité — Q12 : Le piège de $f'(a) = 0$Soit f dérivable sur ℝ avec f'(a) = 0.
La fonction f admet-elle nécessairement un extremum local en
a ?]]>f'(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisant pour un
extremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :
f' change de signe en a. Contre-exemple canonique :
f(x) = x³ en 0.]]>1.00.00truetrueabcNon : pour f(x) = x³ en a = 0, f'(0) = 0 sans
extremum]]>Bonne réponse : x³ est strictement croissante sur
ℝ, sa tangente horizontale en 0 n'y crée aucun
extremum. Il faut que f' change de signe en a.]]>Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux]]>Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée
par la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,
comme x³ en 0).]]>Oui, dès que f est deux fois dérivable]]>Erreur : x³ est indéfiniment dérivable et fournit quand
même le contre-exemple : f'(0) = 0, f''(0) = 0, aucun
extremum.]]>Non : f'(a) = 0 signifie que a est un point d'inflexion]]>Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est
fausse. f'(a) = 0 ne dit rien de la courbure : pour x²
en 0, c'est un vrai minimum, pas une inflexion.]]>