$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonction logarithme népérien Logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle,
propriétés algébriques, dérivée et variations, limites en 0 et
en +∞, croissances comparées, équations et inéquations,
lien entre les courbes de ln et de exp.

]]> Fonction logarithme népérien — Q01 : Valeurs de référence Que vaut ln(1) ?

]]> ln est la réciproque de exp : ln(x) = y signifie
eʸ = x. Comme e⁰ = 1, on a ln(1) = 0 ; comme
e¹ = e, on a ln(e) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : ln(1) = 0 car e⁰ = 1. La courbe de
ln coupe l'axe des abscisses en x = 1.

]]> 1

]]> Erreur : c'est ln(e) qui vaut 1 (car e¹ = e).
Retiens le couple : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

]]> e

]]> Erreur : e \approx 2{,}718 est la base de
l'exponentielle. Le logarithme répond à la question « à
quelle puissance élever e ? » ; pour obtenir 1, la
réponse est 0.

]]> Ce nombre n'est pas défini

]]> Erreur : ln est définie sur ]0 ; +∞[, et
1 > 0. C'est ln(0) ou ln d'un nombre négatif qui
n'existe pas.

]]> Fonction logarithme népérien — Q02 : Logarithme d'un produit Pour tous réels a > 0 et b > 0, que vaut ln(ab) ?

]]> Équation fonctionnelle du logarithme :
ln(ab) = ln(a) + ln(b). On en déduit
ln(a/b) = ln a - ln b et ln(aⁿ) = nln(a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln(a) + ln(b)

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en
sommes. C'est la propriété fondamentale, héritée de
eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ.

]]> ln(a) × ln(b)

]]> Erreur classique : le logarithme ne « distribue » pas sur le
produit en produit. Teste : ln(e × e) = ln(e²) = 2
alors que ln(e) × ln(e) = 1.

]]> ln(a + b)

]]> Erreur : ln(a+b) ne se simplifie pas. La formule
transforme le produit ab en somme des logarithmes,
pas l'inverse.

]]> ln(a) - ln(b)

]]> Erreur : la différence correspond au quotient :
ln(a/b) = ln(a) - ln(b).

]]> Fonction logarithme népérien — Q03 : Simplifier $\ln(e^3)$ Que vaut ln(e³) ?

]]> Réciprocité : ln(eˣ) = x pour tout x réel, et
eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x pour tout x > 0. Donc ln(e³) = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : ln(eˣ) = x pour tout réel x, car
ln et exp sont réciproques l'une de l'autre.

]]> e³

]]> Erreur : appliquer ln à e³ « défait » l'exponentielle
et rend l'exposant : le résultat est 3, pas
e³ ≈ 20.

]]> 3e

]]> Erreur : aucun produit par e n'apparaît.
ln(e³) = 3ln(e) = 3 × 1 = 3.

]]> ln(3)

]]> Erreur : tu as remplacé e³ par 3 avant d'appliquer
ln. La règle est ln(eˣ) = x : le logarithme extrait
l'exposant.

]]> Fonction logarithme népérien — Q04 : Dérivée du logarithme Quelle est la dérivée de la fonction ln sur
]0 ; +∞[ ?

]]> Résultat du cours (démonstration au programme, la dérivabilité
étant admise) : (ln x)' = 1/x sur
]0 ; +∞[. Positif, donc ln strictement croissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ 1/x

]]> Bonne réponse : (ln x)' = 1/x, strictement
positive sur ]0 ; +∞[, ce qui prouve que ln est
strictement croissante.

]]> x ↦ -1/x²

]]> Erreur : -1/x² est la dérivée de la fonction
inverse x ↦ 1/x, pas celle de ln.

]]> x ↦ ln(x) · 1/x

]]> Erreur : aucune règle ne fait réapparaître ln dans sa
propre dérivée. Le résultat est simplement 1/x.

]]> x ↦ eˣ

]]> Erreur : eˣ est la dérivée de l'exponentielle. Être
réciproques ne donne pas la même dérivée.

]]> Fonction logarithme népérien — Q05 : Dérivée de $\ln(u)$ Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) sur
ℝ ?

]]> (ln u)' = u'/u (avec u > 0). Ici
u(x) = x² + 1 > 0 pour tout x, donc f est définie sur
ℝ et f'(x) = 2x/x²+1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 2x/x² + 1

]]> Bonne réponse : (ln u)' = u'/u avec
u(x) = x² + 1 et u'(x) = 2x.

]]> f'(x) = 1/x² + 1

]]> Oubli du facteur u' : la formule de la composée est
u'/u, pas 1/u. Il manque 2x au
numérateur.

]]> f'(x) = 2x ln(x² + 1)

]]> Erreur : le logarithme disparaît en dérivant ; il ne reste
jamais de ln en facteur dans la dérivée de ln(u).

]]> f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : tu as dérivé comme si l'intérieur était la
variable, puis inversé u'. La règle exacte :
(ln u)' = u'/u = 2x/x²+1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q06 : Résoudre $e^x = 5$ Quelle est la solution de l'équation eˣ = 5 ?

]]> Pour tout k > 0, l'équation eˣ = k a pour unique solution
x = ln(k). C'est l'utilisation type de la réciprocité
ln(eˣ) = x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = ln(5)

]]> Bonne réponse : on applique ln aux deux membres :
ln(eˣ) = x et l'équation devient x = \ln 5 \approx
1{,}61.

]]> x = 5/e

]]> Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par
e ; on ne « divise » pas par e pour isoler x. On
applique la fonction réciproque ln.

]]> x = e⁵

]]> Erreur de sens : e⁵ ≈ 148 est l'image de 5 par
l'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de
5, c'est ln 5.

]]> x = 5 - e

]]> Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.
L'outil adapté est le logarithme : x = ln 5.

]]> Fonction logarithme népérien — Q07 : Résoudre $\ln(x) \leq 2$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
ln(x) ≤ 2 ?

]]> Deux étapes : (1) domaine : x > 0 ; (2) croissance de
exp : ln x ≤ 2 ⇔ x ≤ e².
Solutions : ]0 ; e²].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; e²]

]]> Bonne réponse : il faut d'abord x > 0 (domaine de
ln), puis ln x ≤ 2 ⇔ x ≤ e² car
exp est croissante. D'où 0 < x ≤ e².

]]> ]-∞ ; e²]

]]> Oubli du domaine : ln(x) n'existe que pour x > 0. Les
nombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une
inéquation qui n'a pas de sens pour eux.

]]> [e² ; +∞[

]]> Sens inversé : ln est croissante, donc
ln x ≤ 2 correspond aux petites valeurs de x
(jusqu'à e²), pas aux grandes.

]]> ]0 ; 2]

]]> Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,
\ln x \leq 2 \Leftrightarrow x \leq e^2 \approx 7{,}39,
pas x ≤ 2.

]]> Fonction logarithme népérien — Q08 : Limite en $0^+$ Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 par
valeurs supérieures ?

]]> Limites de référence : \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty et
\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. La courbe longe l'axe
des ordonnées vers le bas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -∞

]]> Bonne réponse : près de 0, le logarithme plonge vers
-∞ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à
la courbe.

]]> 0

]]> Erreur : c'est en x = 1 que ln s'annule. Près de 0,
\ln(0{,}001) \approx -6{,}9 : les valeurs dévissent vers
-∞.

]]> +∞

]]> Erreur de sens : +∞ est la limite en +∞. En
0⁺, le logarithme des tout petits nombres est très
négatif.

]]> Elle n'existe pas

]]> Erreur : la limite existe au sens des limites infinies :
\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty.

]]> Fonction logarithme népérien — Q09 : Croissance comparée $\ln x$ contre $x$ Quelle est la limite de ln(x)/x quand x tend vers
+∞ ?

]]> Croissance comparée (au programme) : pour tout entier
n ≥ 1, \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0.
Hiérarchie à mémoriser : \ln x \ll x^n \ll e^x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : par croissance comparée, toute puissance de
x l'emporte sur ln x en +∞ : le quotient tend
vers 0.

]]> +∞

]]> Erreur : le logarithme croît vers +∞, mais
beaucoup plus lentement que x : pour x = e¹⁰ ≈ 22 000, le quotient vaut à peine 0{,}00045.

]]> 1

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ne sont pas du même
ordre de grandeur. Le logarithme est écrasé par x.

]]> e

]]> Erreur : e ne joue aucun rôle particulier dans cette
limite. La croissance comparée donne 0.

]]> Fonction logarithme népérien — Q10 : Courbes de $\ln$ et de $\exp$ [Figure : Repère orthonormé avec trois courbes : l'exponentielle en
bleu (croissante, passe par (0 ; 1)), le logarithme népérien
en rouge (croissant, passe par (1 ; 0)) et la droite y = x en
pointillés. Les deux courbes sont symétriques l'une de
l'autre par rapport à cette droite.]

La figure ci-dessous montre les courbes de exp (en bleu) et
de ln (en rouge). Par quelle transformation la courbe de
ln se déduit-elle de celle de exp ?

]]> ln étant la réciproque de exp, leurs courbes sont
symétriques par rapport à la droite y = x : (a ; b) sur
l'une équivaut à (b ; a) sur l'autre. Exemple :
(0 ; 1) sur exp, (1 ; 0) sur ln.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie par rapport à la droite d'équation y = x

]]> Bonne réponse : c'est la propriété des courbes de deux
fonctions réciproques. Le point (a ; b) est sur la
courbe de exp si et seulement si (b ; a) est sur
celle de ln.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Erreur : cette symétrie transformerait eˣ en -eˣ
(courbe entièrement sous l'axe), pas en ln x.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Erreur : cette symétrie donnerait x ↦ e⁻ˣ
(décroissante), pas le logarithme.

]]> Une translation

]]> Erreur : aucune translation ne transforme l'une en l'autre
(leurs domaines diffèrent : ℝ pour exp,
]0 ; +∞[ pour ln). L'échange des rôles de x
et y est une symétrie par rapport à y = x.

]]> Fonction logarithme népérien — Q11 : Limite de $x \ln(x)$ en $0^+$ Quelle est la limite de x ln(x) quand x tend vers 0 par
valeurs supérieures ?

]]> Limite de référence (démonstration au programme) :
\lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0. Dans le duel
« 0 × ∞ », la puissance de x l'emporte sur le
logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : forme « 0 × ∞ », mais le facteur
x écrase le logarithme : xln x → 0 (limite au
programme).

]]> -∞

]]> Erreur : ln x → -∞, certes, mais il est multiplié
par x → 0, qui gagne ce bras de fer. Pour
x = 0{,}001 : x\ln x \approx -0{,}0069, déjà minuscule.

]]> +∞

]]> Erreur : le produit est négatif près de 0 (car
ln x < 0), il ne peut pas tendre vers +∞. Et son
module s'écrase vers 0.

]]> 1

]]> Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu ; le facteur
x l'emporte et le produit s'annule à la limite.

]]> Fonction logarithme népérien — Q12 : Simplifier $\ln(2) + \ln(3)$ Que vaut ln(2) + ln(3) ?

]]> La propriété ln a + ln b = ln(ab) se lit dans les deux
sens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou
éclate un logarithme de produit. Ici :
ln 2 + ln 3 = ln 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln(6)

]]> Bonne réponse : ln a + ln b = ln(ab), donc
ln 2 + ln 3 = ln(2 × 3) = ln 6.

]]> ln(5)

]]> Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au
produit des arguments, pas à leur somme.
ln 2 + ln 3 = ln 6, et ln(2+3) = ln 5 est un autre
nombre.

]]> ln(9)

]]> Erreur : ln 9 = ln(3²) = 2ln 3. Ici on additionne
ln 2 et ln 3, ce qui donne ln(2 × 3).

]]> 6

]]> Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est
\ln 6 \approx 1{,}79, pas 6.

]]> Fonction logarithme népérien — Q13 : Logarithme d'un inverse Comment s'écrit ln(¼) ?

]]> ln1/a = -ln a et lna/b = ln a - ln b : le logarithme convertit la structure multiplicative en
structure additive. Les inverses deviennent des opposés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -ln 4, soit -2ln 2

]]> Bonne réponse : ln1/a = -ln a (l'inverse
devient un opposé), puis ln 4 = ln 2² = 2ln 2.

]]> 1/ln 4

]]> Erreur : le logarithme ne « traverse » pas la fraction :
il transforme l'inverse en opposé, pas en inverse du
logarithme.

]]> ln 1 - 4

]]> Erreur d'écriture : la règle du quotient donne ln 1 - ln 4 = 0 - ln 4 : le 4 reste sous logarithme.

]]> 4⁻¹

]]> Erreur : 4⁻¹ = ¼ est le nombre de départ,
pas son logarithme (qui vaut environ -1{,}39).

]]> Fonction logarithme népérien — Q14 : Logarithme d'une puissance Comment s'écrit ln 8 en fonction de ln 2 ?

]]> ln(aⁿ) = nln a : la propriété la plus utilisée du
chapitre (résolutions de qⁿ < ε, sommes
géométriques…). Toujours décomposer : 8 = 2³, 81 = 3⁴…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln 8 = 3ln 2

]]> Bonne réponse : 8 = 2³, et ln(aⁿ) = nln a :
l'exposant descend en facteur.

]]> ln 8 = (ln 2)³

]]> Erreur : l'exposant sort en facteur, pas en
puissance du logarithme : (\ln 2)^3 \approx 0{,}33
alors que \ln 8 \approx 2{,}08.

]]> ln 8 = ln 2 + 6

]]> Erreur : 8 = 2 × 4 donnerait ln 2 + ln 4 : le
6 additif ne correspond à aucune règle.

]]> ln 8 = 4ln 2

]]> Erreur d'exposant : 8 = 2³ (et non 2⁴ = 16) :
facteur 3.

]]> Fonction logarithme népérien — Q15 : Signe de $\ln x$ Pour quels réels x a-t-on ln x < 0 ?

]]> Signe de ln : négatif sur ]0\ ;\ 1[, nul en 1,
positif sur ]1\ ;\ +∞[. À superposer mentalement à la
courbe : la traversée de l'axe se fait en x = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour 0 < x < 1

]]> Bonne réponse : le logarithme s'annule en 1 et croît :
négatif avant 1, positif après. \ln(0{,}5) \approx
-0{,}69.

]]> Pour x < 0

]]> Erreur de domaine : ln x n'existe pas pour x ≤ 0 : la question du signe ne se pose que sur
]0\ ;\ +∞[.

]]> Pour x < e

]]> Erreur de repère : le point d'annulation est 1 (ln 1 = 0), pas e (ln e = 1). Entre 1 et e, ln
est déjà positif.

]]> Jamais : un logarithme est toujours positif

]]> Erreur : \ln(0{,}1) \approx -2{,}3. Sur ]0\ ;\ 1[,
le logarithme est négatif (et plonge vers -∞ en
0⁺).

]]> Fonction logarithme népérien — Q16 : Domaine de $\ln(u)$ Sur quel ensemble la fonction f(x) = ln(2x - 6)
est-elle définie ?

]]> ln(u(x)) exige u(x) > 0 : résoudre cette inéquation est
le premier réflexe de tout exercice. Ici 2x - 6 > 0 \iff
x > 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]3\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : il faut 2x - 6 > 0, soit x > 3 :
l'intérieur du logarithme doit être strictement
positif.

]]> [3\ ;\ +∞[

]]> Borne fausse : en x = 3, l'intérieur vaut 0 et ln 0 n'existe pas : intervalle ouvert en 3.

]]> ]0\ ;\ +∞[

]]> Erreur : la condition porte sur 2x - 6, pas sur x :
c'est l'argument du logarithme qui doit être
positif.

]]> ℝ

]]> Erreur : f(0) = ln(-6) n'existe pas : le logarithme
n'accepte que du strictement positif.

]]> Fonction logarithme népérien — Q17 : Dérivée de $x\ln x$ Quelle est la dérivée de f(x) = xln x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> (xln x)' = ln x + 1 : calcul fétiche du chapitre
(minimum en x = e⁻¹, primitives…). La règle du produit
s'applique dès qu'un facteur accompagne le logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = ln x + 1

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = ln x : u'v + uv' = 1 × ln x + x × 1/x = ln x + 1.

]]> f'(x) = 1/x

]]> Erreur : 1/x est la dérivée de ln x seul :
le facteur x impose la règle du produit.

]]> f'(x) = ln x

]]> Incomplet : il manque le terme x × 1/x = 1 : la dérivée est ln x + 1.

]]> f'(x) = 1 × 1/x = 1/x

]]> Erreur : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du
produit : la règle est u'v + uv'.

]]> Fonction logarithme népérien — Q18 : Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$ Pour quels entiers n a-t-on 0{,}8^n < 0{,}01 ?

]]> Résolution type de qⁿ < ε pour 0 < q < 1 :
logarithme des deux côtés, division par ln q < 0 en
retournant l'inégalité. L'oubli de l'inversion est
l'erreur numéro un du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n ≥ 21, car n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}
\approx 20{,}6 (l'inégalité change de sens : \ln
0{,}8 < 0)

]]> Bonne réponse : n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01, et la
division par \ln 0{,}8, négatif, retourne
l'inégalité.

]]> n ≤ 20, car n < \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}

]]> Sens non inversé : diviser par \ln 0{,}8 \approx
-0{,}22, négatif, retourne le sens. (Contrôle :
0{,}8^1 = 0{,}8, loin d'être < 0{,}01.)

]]> Aucun : une puissance reste toujours au-dessus de
0{,}01

]]> Erreur : 0{,}8^n \to 0 : la suite finit par passer
sous n'importe quel seuil positif : ici au rang 21.

]]> n ≥ 5, car 0{,}8 \times 5 > 0{,}01… non, essayons
n = 5

]]> Erreur : 0{,}8^5 \approx 0{,}33, très au-dessus de
0{,}01. La bonne méthode passe par le logarithme,
inversion de sens comprise.

]]> Fonction logarithme népérien — Q19 : Simplifier $\ln(e^x \times e)$ Pour tout réel x, que vaut ln(eˣ × e) ?

]]> Deux chemins équivalents : regrouper (eˣ⁺¹) puis
simplifier, ou éclater (ln eˣ + ln e). Les allers
retours ln ↔ exp doivent être des
automatismes : ln(eᵃ) = a, e^{\ln b} = b (b > 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x + 1

]]> Bonne réponse : eˣ × e = eˣ⁺¹, et ln
annule exp : reste x + 1. (Ou : ln eˣ + ln e = x + 1.)

]]> x

]]> Facteur oublié : le × e ajoute ln e = 1 au
résultat.

]]> eˣ⁺¹

]]> Logarithme non appliqué : ln(eˣ⁺¹) = x + 1 : les
deux fonctions réciproques s'annulent.

]]> x e

]]> Erreur : le produit dans le logarithme devient une
somme de logarithmes (x + 1), jamais un produit.

]]> Fonction logarithme népérien — Q20 : Limite de $\ln x$ en $+\infty$ Que vaut \lim\limits_{x \to +\infty} \ln x ?

]]> \lim_{+\infty} \ln x = +\infty, mais plus lentement que
toute puissance (ln x/x → 0) : croissance
illimitée ET négligeable : les deux faits cohabitent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +∞ : le logarithme dépasse tout seuil, mais très
lentement

]]> Bonne réponse : ln x finit par dépasser 100, 1000…
(dès x > e¹⁰⁰, etc.) : limite +∞, malgré une
croissance d'escargot.

]]> Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit

]]> Illusion graphique classique : la courbe s'aplatit mais
ne plafonne pas : ln x > 100 dès que x > e¹⁰⁰.
Aucune asymptote horizontale.

]]> e

]]> Erreur : e est la base (ln e = 1), pas une limite :
en +∞ le logarithme croît sans borne.

]]> 0

]]> Erreur : ln x → 0 quand x → 1, pas à l'infini.
En +∞, la limite est +∞.

]]> Fonction logarithme népérien — Q21 : Concavité du logarithme La dérivée seconde de ln est -1/x² < 0.
Quelle inégalité en découle ?

]]> ln est concave (f'' < 0) : courbe sous ses tangentes,
d'où ln x ≤ x - 1 : l'inégalité miroir de eˣ ≥ 1 + x (les deux courbes sont symétriques par rapport à
y = x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln x ≤ x - 1 pour tout x > 0 : la courbe est
sous sa tangente en 1

]]> Bonne réponse : concave = courbe sous chacune de ses
tangentes ; celle en x = 1 a pour équation y = x - 1. Égalité seulement en x = 1.

]]> ln x ≥ x - 1 pour tout x > 0

]]> Sens inversé : c'est la position d'une courbe
convexe au-dessus de ses tangentes (comme eˣ ≥ 1 + x). Le logarithme, concave, est en dessous.

]]> ln x ≤ 0 pour tout x > 0

]]> Faux : \ln 10 \approx 2{,}3 > 0. La concavité parle de
la position par rapport aux tangentes, pas à l'axe.

]]> ln x ≤ x² seulement

]]> Vrai mais sans lien : l'inégalité de concavité associée
à la tangente en 1 est la plus fine : ln x ≤ x - 1.

]]> Fonction logarithme népérien — Q22 : Équation avec deux logarithmes Combien l'équation ln x + ln(x - 3) = ln 4 a-t-elle de
solutions ?

]]> Méthode complète : 1) domaine (x > 3) ; 2) fusion ln a + ln b = ln(ab) ; 3) équation polynomiale ; 4) tri des
racines par le domaine. L'étape 4 élimine presque toujours
un candidat : c'est le piège voulu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : x = 4 (la racine x = -1 est hors
domaine)

]]> Bonne réponse : le domaine exige x > 3 ; l'équation
devient x(x - 3) = 4, soit x² - 3x - 4 = 0, racines
4 et -1 : seule 4 survit au domaine.

]]> Deux : x = 4 et x = -1

]]> Domaine oublié : en x = -1, ni ln x ni ln(x-3)
n'existent : toute résolution commence par « il faut
x > 3 ».

]]> Aucune

]]> Erreur : x = 4 convient : ln 4 + ln 1 = ln 4 + 0 = ln 4.

]]> Une seule : x = 7, car 4 + 3 = 7

]]> Erreur : la somme des logarithmes donne le logarithme du
produit x(x-3), pas de la somme : l'équation est
x(x-3) = 4.

]]> Fonction logarithme népérien — Q23 : Équation en $e^x$ par changement de variable Quelles sont les solutions de e²ˣ - 3eˣ + 2 = 0 ?

]]> e²ˣ = (eˣ)² : poser X = eˣ (X > 0) ramène à un
second degré. Ne garder que les racines X > 0, puis
conclure par x = ln X. Schéma incontournable au
baccalauréat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0 et x = ln 2

]]> Bonne réponse : avec X = eˣ : X² - 3X + 2 = 0,
racines X = 1 et X = 2, puis retour : e^x = 1 \iff
x = 0 et e^x = 2 \iff x = \ln 2.

]]> x = 1 et x = 2

]]> Retour oublié : 1 et 2 sont les valeurs de X = eˣ, pas de x : il reste à appliquer ln.

]]> x = ln 3

]]> Erreur : le coefficient 3 n'est pas une racine : on
résout le trinôme en X (X = 1 ou 2), puis on
revient à x.

]]> Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais

]]> Hors sujet : on ne cherche pas eˣ = 0 mais les zéros
du trinôme en eˣ : ils existent (x = 0 et ln 2,
à vérifier en remplaçant).

]]> Fonction logarithme népérien — Q24 : Le faux réflexe $\ln(a + b)$ L'égalité ln(a + b) = ln a + ln b est-elle vraie pour
tous réels a, b > 0 ?

]]> À graver : ln(ab) = ln a + ln b, mais ln(a + b) ne
se développe pas. Le logarithme traduit le monde
multiplicatif en monde additif : il n'a rien à dire sur les
sommes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : ln transforme les produits en sommes, pas les
sommes (ln(1 + 1) = ln 2 ≠ ln 1 + ln 1 = 0)

]]> Bonne réponse : la propriété fondamentale est ln(ab) = ln a + ln b : aucune formule ne simplifie
ln(a + b) en général.

]]> Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme

]]> Confusion : la propriété fondamentale porte sur le
produit : ln(ab) = ln a + ln b. Pour la somme,
contre-exemple : a = b = 1.

]]> Oui, mais seulement si a = b

]]> Toujours faux : a = b = 1 : \ln 2 \approx 0{,}69
d'un côté, 0 de l'autre.

]]> Non, sauf pour a, b < 1

]]> Erreur : aucun réglage de a et b ne sauve la formule
en général : elle confond addition et multiplication.

]]>