$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonctions sinus et cosinus Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes
représentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,
équations du type cos(x) = a et inéquations sur
[-π ; π].

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q01 : Dérivée de sinus Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?

]]> Dérivées à connaître : (sin x)' = cos x et
(cos x)' = -sin x. Le cycle des dérivations successives
revient au point de départ en quatre étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ cos(x)

]]> Bonne réponse : (sin x)' = cos x. Cohérent en 0 : la
courbe de sinus y a une pente de cos(0) = 1.

]]> x ↦ -cos(x)

]]> Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant
cosinus, pas sinus. Retiens le cycle :
sin → cos → -sin → -cos → sin.

]]> x ↦ sin(x)

]]> Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège
appartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus.

]]> x ↦ -sin(x)

]]> Erreur : -sin est la dérivée seconde de sinus (la
dérivée de cos). Au premier ordre : (sin x)' = cos x.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q02 : Dérivée de cosinus Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

]]> (cos x)' = -sin x. Vérification rapide du signe : cosinus
passe de 1 à -1 sur [0 ; π], il décroît, et
-sin x ≤ 0 sur cet intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ -sin(x)

]]> Bonne réponse : (cos x)' = -sin x. Le signe moins
traduit le fait que cosinus décroît juste après 0.

]]> x ↦ sin(x)

]]> Oubli du signe : sur ]0 ; π[, cosinus décroît, sa
dérivée doit y être négative ; or sin x > 0 sur cet
intervalle. La bonne dérivée est -sin x.

]]> x ↦ -cos(x)

]]> Erreur : -cos est la dérivée seconde de cosinus. Au
premier ordre : (cos x)' = -sin x.

]]> x ↦ 1/sin(x)

]]> Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.
(Tu penses peut-être à la dérivée de ln ?)

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q03 : Parité de sinus et cosinus Pour tout réel x, quelles égalités sont correctes ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, x et -x donnent deux points
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse
(cos paire), ordonnées opposées (sin impaire).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x)

]]> Bonne réponse : cosinus est paire (courbe symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est impaire
(courbe symétrique par rapport à l'origine).

]]> cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = sin(x)

]]> Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer
x en -x conserve l'abscisse (cosinus) et change le
signe de l'ordonnée (sinus).

]]> cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = sin(x)

]]> Erreur sur sinus : sin(-π/2) = -1 ≠ 1 = sin(π/2). Sinus est
impaire.

]]> cos(-x) = -cos(x) et sin(-x) = -sin(x)

]]> Erreur sur cosinus : cos(-0) = cos(0) = 1, pas -1.
Cosinus est paire.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q04 : Période des fonctions sinus et cosinus Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?

]]> Un tour complet du cercle trigonométrique mesure 2π
radians : cos et sin sont 2π-périodiques. Leur courbe
se répète à l'identique de 2π en 2π.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2π

]]> Bonne réponse : cos(x + 2π) = cos(x) et
sin(x + 2π) = sin(x) pour tout x : un tour complet
du cercle trigonométrique.

]]> π

]]> Erreur : cos(0) = 1 mais cos(π) = -1 : ajouter
π ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).
La vraie période est 2π.

]]> 360

]]> Confusion degrés/radians : 360 degrés correspondent bien à
un tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont
définies en radians : période 2π.

]]> 1

]]> Erreur : \cos(1) \approx 0{,}54 \neq \cos(0) = 1. La
période est la longueur d'un tour du cercle : 2π.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q05 : Une valeur sur le cercle Que vaut cos(π/2) ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, l'angle π/2 correspond au
point (0 ; 1) : cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle
trigonométrique est (0 ; 1) : abscisse 0, donc
cos(π/2) = 0 (et sin(π/2) = 1).

]]> 1

]]> Erreur : 1 est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire
sin(π/2). Le cosinus lit l'abscisse, qui vaut 0.

]]> -1

]]> Erreur : -1 est cos(π), au demi-tour. Au quart de
tour, l'abscisse est 0.

]]> π/2

]]> Erreur : π/2 est l'angle, pas la valeur du cosinus.
Un cosinus est toujours compris entre -1 et 1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q06 : Valeur remarquable Que vaut cos(π/3) ?

]]> Tableau des valeurs remarquables : pour π/6,
π/4, π/3, le cosinus vaut
\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, ½
(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Bonne réponse : cos(π/3) = ½ et
\sin(\pi/3) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Confusion classique : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est
sin(π/3), ou encore cos(π/6). Moyen mémo : plus
l'angle est proche de 0, plus le cosinus est proche de
1, donc cos(π/3) < cos(π/6).

]]> \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Erreur : \dfrac{\sqrt{2}}{2} est la valeur commune de
cos(π/4) et sin(π/4), à mi-chemin.

]]> ⅓

]]> Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le
dénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur
le cercle : cos(π/3) = ½.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q07 : Résoudre $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de l'équation
cos(x) = ½ sur l'intervalle ]-π ; π] ?

]]> cos(x) = a se résout sur le cercle : les solutions sont
x = α et x = -α (modulo 2π), où α est
un angle de cosinus a. Ici α = π/3 : solutions
±π/3 sur ]-π ; π].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = π/3 et x = -π/3

]]> Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse ½
coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à
l'axe des abscisses : angles π/3 et -π/3.

]]> x = π/3 seulement

]]> Oubli : le cosinus étant pair, -π/3 convient aussi
(cos(-π/3) = cos(π/3) = 1/2). Une équation en
cosinus a généralement deux solutions par tour.

]]> x = π/3 et x = 2π/3

]]> Confusion avec le sinus : π/3 et π - π/3 = 2π/3 sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,
les deux solutions sont opposées : ±π/3.

]]> x = π/6 et x = -π/6

]]> Erreur de valeur : \cos(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2},
pas ½. L'angle dont le cosinus vaut
½ est π/3.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q08 : Reconnaître une courbe trigonométrique [Figure : Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe
par l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,
redescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son
minimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par
rapport à l'origine.]

La courbe \mathcal{C} ci-dessous est tracée sur
[-π ; π]. De quelle fonction est-ce la courbe
représentative ?

]]> Signature graphique de sinus : passage par l'origine en
croissant, maximum 1 en π/2, imparité (symétrie par
rapport à l'origine), période 2π. Cosinus, lui, démarre à
son maximum en x = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ↦ sin(x)

]]> Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est
symétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine
à 1 en π/2 : c'est la sinusoïde.

]]> x ↦ cos(x)

]]> Erreur : la courbe de cosinus vaut 1 en 0 (elle démarre
au sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Ici la courbe s'annule en 0.

]]> x ↦ -sin(x)

]]> Erreur de signe : -sin descendrait en quittant
l'origine vers la droite, avec un minimum en π/2. Ici
la courbe monte.

]]> x ↦ sin(2x)

]]> Erreur : sin(2x) oscille deux fois plus vite (période
π) et s'annulerait déjà en π/2. Ici le maximum est
en π/2 : une seule arche par demi-tour.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q09 : Dérivée de $\cos(3x)$ Quelle est la dérivée de f(x) = cos(3x) ?

]]> Règle de la composée : (cos(u))' = -u'sin(u).
Avec u(x) = 3x : f'(x) = -3sin(3x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -3sin(3x)

]]> Bonne réponse : dérivée de composée,
(cos u)' = -u'sin(u) avec u = 3x et u' = 3.

]]> f'(x) = -sin(3x)

]]> Oubli du facteur u' = 3 : la composée exige de multiplier
par la dérivée de l'intérieur.

]]> f'(x) = 3sin(3x)

]]> Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe
moins, qui ne disparaît pas : -3sin(3x).

]]> f'(x) = -3cos(3x)

]]> Erreur : dériver cosinus donne du sinus (au signe
près), pas du cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q10 : Résoudre $\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
cos(x) ≤ ½ sur [-π ; π] ?

]]> Méthode du cercle : on repère les angles où
cos(x) = ½, soit ±π/3, puis on identifie
l'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande
amplitude. Solutions :
[-π ; -π/3] ∪ [π/3 ; π].

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-π ; -π/3] ∪ [π/3 ; π]

]]> Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à
½ pour les points situés à gauche de la
verticale d'abscisse ½, c'est-à-dire pour les
angles au-delà de ±π/3.

]]> [-π/3 ; π/3]

]]> C'est l'ensemble complémentaire : entre -π/3 et
π/3, le cosinus est supérieur ou égal à
½ (il culmine à 1 en 0).

]]> [π/3 ; π] seulement

]]> Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique
[-π ; -π/3] convient aussi.

]]> [-π/2 ; π/2]

]]> Erreur : sur cet intervalle le cosinus est positif et
vaut jusqu'à 1 ; par exemple cos(0) = 1 > ½. Le seuil ½ se franchit en
±π/3.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q11 : Limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $+\infty$ Quelle est la limite de sin(x)/x quand x tend
vers +∞ ?

]]> Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers
l'infini : encadrement
-1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x et
théorème des gendarmes donnent une limite nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : -1 ≤ sin(x) ≤ 1, donc
-1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x ;
les gendarmes concluent : limite 0.

]]> Elle n'existe pas, car sin(x) oscille sans limite

]]> Erreur : le numérateur oscille mais reste borné, et il
est divisé par x qui explose. Les oscillations sont
écrasées : la limite existe et vaut 0.

]]> 1

]]> Confusion avec la limite célèbre en zéro :
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. En +∞, le
dénominateur l'emporte : limite 0.

]]> +∞

]]> Erreur : le quotient est majoré par 1/x en
valeur absolue, il ne peut pas exploser.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q12 : Monotonie de sinus Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?

]]> On lit la monotonie de sin sur le signe de sa dérivée
cos : positif sur [-π/2 ; π/2], donc sinus
croissante sur cet intervalle (de -1 à 1), puis
décroissante sur [π/2 ; 3π/2], etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-π/2 ; π/2]

]]> Bonne réponse : (sin x)' = cos x ≥ 0 exactement sur
cet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte
de -1 à 1.

]]> [0 ; π]

]]> Erreur : sur [0 ; π], sinus monte jusqu'à π/2
puis redescend (le cosinus devient négatif après
π/2). Ce n'est pas un intervalle de monotonie.

]]> [-π ; 0]

]]> Erreur : entre -π et -π/2, le cosinus est négatif
et sinus décroît ; la croissance ne commence qu'en
-π/2.

]]> ℝ tout entier

]]> Impossible : une fonction périodique non constante ne peut
pas être monotone sur ℝ, elle remonte et
redescend sans fin.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q13 : Utiliser $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ On sait que cos x = ⅗ avec x ∈ [0\ ;\ π/2]. Que vaut sin x ?

]]> cos² x + sin² x = 1 (Pythagore sur le cercle unité) :
passer de l'un à l'autre au signe près, le quadrant
fournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du
carré, choix du signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc sin x = ⅘

]]> Bonne réponse : sin² x = 1 - 9/25 = 16/25, et sur [0\ ;\ π/2] le sinus est positif : +⅘
(le triangle 3-4-5).

]]> sin x = ⅖

]]> Erreur : 1 - ⅗ = ⅖ soustrait les
valeurs au lieu des carrés : l'identité porte sur
cos² et sin².

]]> sin x = ±⅘, impossible de trancher

]]> Intervalle négligé : sur [0\ ;\ π/2] (premier quadrant), le sinus est
positif : l'information donnée tranche.

]]> sin x = ⅗

]]> Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en x = π/4 (valeur \frac{\sqrt{2}}{2}) : ici le
calcul donne ⅘.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q14 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{6}$ Que vaut sinπ/6 ?

]]> Tableau des valeurs : π/6 → ½,
\frac{\pi}{4} \to \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{3} \to
\frac{\sqrt{3}}{2} pour le sinus (le cosinus lit le même
tableau à l'envers). Mémoire : \frac{\sqrt{1}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Bonne réponse : π/6 = 30° : le sinus vaut
½ (et le cosinus \frac{\sqrt{3}}{2}).

]]> \dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Échange classique : \frac{\sqrt{3}}{2} est cos π/6 (ou sinπ/3) : à 30°, le
sinus est le petit (½).

]]> \dfrac{\sqrt{2}}{2}

]]> Erreur : \frac{\sqrt{2}}{2} appartient à π/4
(45°), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent.

]]> π/6

]]> Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle (sin x ≈ x seulement pour x très petit, et
\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 \neq 0{,}5… de peu, mais
la valeur exacte est ½).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q15 : Dérivée de $\sin(2x)$ Quelle est la dérivée de f(x) = sin(2x) ?

]]> (sin(ax))' = acos(ax), (cos(ax))' = -asin(ax) : le
coefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.
Physiquement : osciller deux fois plus vite double la
vitesse de variation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 2cos(2x)

]]> Bonne réponse : (sin u)' = u'cos u avec u = 2x :
le facteur 2 sort, l'argument 2x reste.

]]> f'(x) = cos(2x)

]]> Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur
(u' = 2) multiplie : règle de la chaîne.

]]> f'(x) = 2cos(x)

]]> Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :
le 2x reste intact dans le cosinus.

]]> f'(x) = -2cos(2x)

]]> Signe : le moins appartient à la dérivée du
cosinus ((cos u)' = -u'sin u) : le sinus se
dérive sans signe.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q16 : Résoudre $\sin x = 0$ Quelles sont les solutions de sin x = 0 sur
ℝ ?

]]> Sur le cercle : sin x = 0 aux points (± 1\ ;\ 0),
soit x = kπ ; cos x = 0 aux points (0\ ;\ ± 1),
soit x = π/2 + kπ. Visualiser le cercle évite
toute confusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = kπ, pour k ∈ ℤ

]]> Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités
horizontales du cercle (0 et π), puis tous les
tours : l'ensemble \{k\pi\} les capture tous d'un
coup.

]]> x = 2kπ seulement

]]> Moitié perdue : sin π = 0 aussi : les multiples
impairs de π manquent : le pas est π, pas
2π.

]]> x = 0 seulement

]]> Périodicité oubliée : le sinus repasse par 0 à chaque
demi-tour : une infinité de solutions.

]]> x = π/2 + kπ

]]> Confusion : π/2 + kπ sont les zéros du
cosinus (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus
s'annule sur l'axe horizontal.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q17 : La limite $\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ Que vaut \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} ?

]]> \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 : le taux
d'accroissement de sinus en 0, et la traduction de la
tangente y = x à l'origine. À rapprocher de
eˣ - 1/x → 1 : même mécanisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 : c'est le nombre dérivé de sinus en 0

]]> Bonne réponse : sin x - sin 0/x - 0 est le
taux d'accroissement de sin en 0 : sa limite est
sin'(0) = cos 0 = 1.

]]> 0, car sin 0 = 0

]]> Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :
0/0 à lever, et la reconnaissance du taux
d'accroissement donne 1.

]]> +∞, car on divise par 0

]]> Erreur : le numérateur fond à la même vitesse (sin x ≈ x près de 0) : le quotient s'équilibre sur
1.

]]> La limite n'existe pas, le sinus oscille

]]> Confusion avec +∞ : en 0, le sinus
n'oscille pas : il colle à sa tangente y = x, d'où le
quotient proche de 1.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q18 : Variations de cosinus sur $[0\ ;\ \pi]$ Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle
[0\ ;\ π] ?

]]> (cos)' = -sin : le signe du sinus pilote les variations
du cosinus. Sur [0\ ;\ π] : décroissance de 1 à -1 ;
puis remontée sur [π\ ;\ 2π] : l'ondulation perpétuelle
se lit tableau par tableau.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît de 1 à -1, car (cos x)' = -sin x ≤ 0 sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : sur [0\ ;\ π], sin x ≥ 0, donc
-sin x ≤ 0 : décroissance stricte de cos 0 = 1
à cos π = -1.

]]> Elle croît de -1 à 1

]]> Sens inversé : c'est le comportement sur [π\ ;\ 2π] (ou [-π\ ;\ 0]) : sur [0\ ;\ π], le point
du cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît.

]]> Elle est constante, car périodique

]]> Confusion : périodique = se répète, pas = constante :
à l'intérieur d'une période, la fonction varie
(pleinement, de 1 à -1).

]]> Elle croît puis décroît, avec un maximum en
π/2

]]> Erreur : en π/2, le cosinus vaut 0 et
traverse en descendant (-sinπ/2 = -1 < 0) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus.

]]>