$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Orthogonalité et distances dans l'espace Produit scalaire dans l'espace, expression en base orthonormée,
orthogonalité de vecteurs et de droites, norme et distance entre
deux points, développement de \|u⃗ + v⃗\|², vecteur
normal à un plan, projeté orthogonal, plans perpendiculaires,
distance d'un point à un plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q01 : Produit scalaire en coordonnées Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(1 ; 2 ; -1)
et v⃗(3 ; 0 ; 2). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?

]]> En base orthonormée :
u⃗ · v⃗ = xx' + yy' + zz'. Ici
1 × 3 + 2 × 0 + (-1) × 2 = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' + zz' = 3 + 0 - 2 = 1.

]]> 5

]]> Erreur de signe : le dernier terme vaut
(-1) × 2 = -2, pas +2. Total : 3 + 0 - 2 = 1.

]]> (3 ; 0 ; -2)

]]> Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre,
pas un vecteur. On additionne les produits des
coordonnées.

]]> 0

]]> Erreur : 0 signifierait des vecteurs orthogonaux. Le
calcul donne 3 + 0 - 2 = 1 ≠ 0.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q02 : Tester l'orthogonalité Dans un repère orthonormé, u⃗(2 ; 1 ; -1) et
v⃗(1 ; 0 ; 2) sont-ils orthogonaux ?

]]> Caractérisation fondamentale :
\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} =
0. Ici 2 + 0 - 2 = 0 : orthogonaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car u⃗ · v⃗ = 0

]]> Bonne réponse : 2 × 1 + 1 × 0 + (-1) × 2 = 2 - 2 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.

]]> Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle

]]> Erreur : l'orthogonalité ne se lit pas sur les coordonnées
individuellement, mais sur la somme des produits :
u⃗ · v⃗ = 0.

]]> Non, car ils ne sont pas colinéaires

]]> Confusion : la colinéarité et l'orthogonalité sont deux
notions différentes (et presque opposées). Le test
d'orthogonalité est la nullité du produit scalaire.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître l'angle

]]> Erreur : le produit scalaire remplace justement le calcul
d'angle : u⃗ · v⃗ = 0 ⇔
vecteurs orthogonaux.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q03 : Norme d'un vecteur Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de
u⃗(2 ; -1 ; 2) ?

]]> En base orthonormée : \|u⃗\| = √x² + y² + z²
(Pythagore en trois dimensions). Ici √9 = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : \|u⃗\| = √2² + (-1)² + 2² = √9 = 3.

]]> 9

]]> Oubli de la racine : 9 = \|u⃗\|² est le carré
de la norme. La norme vaut √9 = 3.

]]> √3

]]> Erreur : tu as compté 2 + (-1) + 2 = 3 sous la racine.
Ce sont les carrés des coordonnées qu'on additionne :
4 + 1 + 4 = 9.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = 2 + 1 + 2 additionne les valeurs absolues.
La norme passe par les carrés : √4 + 1 + 4 = 3.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q04 : Distance entre deux points Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 0 ; 2) et
B(3 ; 2 ; 1). Que vaut la distance AB ?

]]> AB = √(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)².
Ici AB⃗(2 ; 2 ; -1) et AB = √9 = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : AB = \|AB⃗\| = √2² + 2² + (-1)² = √9 = 3.

]]> 9

]]> Oubli de la racine : 9 est AB². La distance vaut
√9 = 3.

]]> √3

]]> Erreur : √2 + 2 - 1 additionne les coordonnées de
AB⃗ au lieu de leurs carrés :
√4 + 4 + 1 = 3.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = 2 + 2 + 1 additionne les valeurs absolues
des coordonnées. La formule exige leurs carrés sous une
racine.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q05 : Vecteur normal à un plan Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan \mathcal{P} ?

]]> n⃗ normal à \mathcal{P} : non nul et orthogonal à
tout vecteur du plan. Critère pratique : orthogonal à deux
vecteurs non colinéaires de \mathcal{P}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur porté par
\mathcal{P}

]]> Bonne réponse : n⃗ est orthogonal à toutes les
directions du plan (il suffit de le vérifier sur deux
vecteurs non colinéaires du plan).

]]> Un vecteur contenu dans \mathcal{P}

]]> Contresens : un vecteur du plan est une direction du
plan. Le vecteur normal lui est au contraire
perpendiculaire, il pointe hors du plan.

]]> Un vecteur orthogonal à un vecteur du plan

]]> Insuffisant : être orthogonal à une seule direction du
plan ne suffit pas (on peut l'être en restant dans le
plan). Il faut l'orthogonalité à deux directions non
colinéaires.

]]> Un vecteur de norme 1

]]> Erreur : la norme n'a rien à voir avec la définition
(« normal » signifie perpendiculaire, pas « normé »).

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ Que vaut \|u⃗ + v⃗\|² pour deux vecteurs
quelconques de l'espace ?

]]> \|u⃗+v⃗\|² = (u⃗+v⃗) · (u⃗+v⃗) = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|². On en tire u⃗·v⃗ = ½(\|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|²) (polarisation).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|²

]]> Bonne réponse : identité remarquable vectorielle, obtenue
par bilinéarité du produit scalaire. Elle fonde les
formules de polarisation.

]]> \|u⃗\|² + \|v⃗\|²

]]> Piège : cette égalité (Pythagore) n'est vraie que si
\vec{u} \perp \vec{v} (le double produit scalaire
s'annule alors). En général, le terme
2 u⃗·v⃗ subsiste.

]]> (\|u⃗\| + \|v⃗\|)²

]]> Erreur : ce serait le cas d'égalité extrême (vecteurs
colinéaires de même sens). Le terme croisé est
2 u⃗·v⃗, en général plus petit que
2\|u⃗\|\|v⃗\|.

]]> \|u⃗\|² - 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|²

]]> Erreur de signe : le moins correspond au développement de
\|u⃗ - v⃗\|².

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q07 : Produit scalaire et angle Soient u⃗ et v⃗ tels que \|u⃗\| = 2,
\|v⃗\| = 3 et u⃗ · v⃗ = 3. Que vaut
l'angle θ entre u⃗ et v⃗ ?

]]> u⃗·v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ,
d'où cosθ = 3/6 = ½ et θ = π/3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc θ = π/3

]]> Bonne réponse : \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},
donc θ = π/3.

]]> θ = π/6

]]> Erreur de valeur remarquable : cosθ = ½
correspond à π/3 ; c'est
\dfrac{\sqrt{3}}{2} qui correspondrait à
π/6.

]]> θ = π/2

]]> Erreur : π/2 exigerait un produit scalaire
nul. Ici il vaut 3 ≠ 0.

]]> cosθ = 3

]]> Impossible : un cosinus reste entre -1 et 1. Il faut
diviser le produit scalaire par le produit des normes :
3/2 × 3 = ½.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q08 : Plans perpendiculaires Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs \vec{n_1}
et \vec{n_2}. À quelle condition ces plans sont-ils
perpendiculaires ?

]]> Dictionnaire des positions par les normaux : normaux
colinéaires ⇔ plans parallèles ; normaux
orthogonaux ⇔ plans perpendiculaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0

]]> Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et
seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

]]> \vec{n_1} et \vec{n_2} colinéaires

]]> Contresens : des normaux colinéaires caractérisent des
plans parallèles (ou confondus), pas perpendiculaires.

]]> Les plans n'ont aucun point commun

]]> Erreur : deux plans perpendiculaires se coupent toujours
(le long d'une droite). L'absence de point commun signifie
le parallélisme strict.

]]> \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1

]]> Erreur : la valeur 1 n'a aucun statut particulier ici.
La perpendicularité se lit sur la nullité du produit
scalaire des normaux.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q09 : Propriété du projeté orthogonal Soit H le projeté orthogonal d'un point M sur un plan
\mathcal{P}. Quelle propriété caractérise H ?

]]> Le projeté orthogonal H de M sur \mathcal{P} minimise la
distance : MH = d(M\,;\,\mathcal{P}). Preuve par Pythagore
dans le triangle MHP, rectangle en H.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc H est le point de \mathcal{P} le plus proche de M

]]> Bonne réponse : pour tout autre point P du plan,
MP² = MH² + HP² > MH² (Pythagore). C'est la
démonstration au programme, et la définition de la
distance de M au plan.

]]> H est le point de \mathcal{P} le plus éloigné de M

]]> Contresens : il n'existe d'ailleurs pas de point le plus
éloigné dans un plan (illimité). Le projeté minimise la
distance.

]]> H est le symétrique de M par rapport à \mathcal{P}

]]> Erreur : le symétrique est de l'autre côté du plan, à
double distance. Le projeté est le pied de la
perpendiculaire, dans le plan.

]]> H est un point quelconque où (MH) coupe \mathcal{P}

]]> Insuffisant : toute droite issue de M non parallèle au
plan le coupe. Le projeté exige que (MH) soit
orthogonale au plan.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q10 : Droite orthogonale à un plan Soit d une droite de vecteur directeur u⃗ et
\mathcal{P} un plan. À quelle condition d est-elle
orthogonale à \mathcal{P} ?

]]> Critère au programme : d \perp \mathcal{P} dès que son
vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non
colinéaires du plan. Le directeur de d est alors un vecteur
normal de \mathcal{P}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de
\mathcal{P}

]]> Bonne réponse : l'orthogonalité à deux directions
indépendantes du plan suffit à garantir l'orthogonalité à
toutes (autrement dit, u⃗ est normal au plan).

]]> u⃗ est orthogonal à un vecteur de \mathcal{P}

]]> Insuffisant : une droite contenue dans le plan peut
être orthogonale à une direction du plan sans lui être
orthogonale. Il faut deux directions non colinéaires.

]]> u⃗ est un vecteur du plan \mathcal{P}

]]> Contresens : ce serait une droite parallèle au plan
(ou incluse dedans), le contraire de la situation
cherchée.

]]> d et \mathcal{P} n'ont aucun point commun

]]> Erreur : une droite orthogonale à un plan le perce en
un point. L'absence d'intersection signifie le
parallélisme.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q11 : Distance d'un point à un plan Dans un repère orthonormé, soit M(0 ; 0 ; 5) et
\mathcal{P} le plan d'équation z = 1. Quelle est la
distance de M à \mathcal{P} ?

]]> La distance d'un point à un plan est la longueur MH, où H
est le projeté orthogonal. Pour un plan z = c et
M(x ; y ; z_M) : H(x ; y ; c) et
d = |z_M - c| = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : \mathcal{P} est horizontal, le projeté
orthogonal de M est H(0 ; 0 ; 1), et
MH = 5 - 1 = 4.

]]> 5

]]> Erreur : 5 est la distance de M au plan z = 0 (ou à
l'origine). Le plan est à l'altitude 1 : il reste
5 - 1 = 4.

]]> 1

]]> Erreur : 1 est l'altitude du plan, pas l'écart entre
M et le plan.

]]> 6

]]> Erreur : 5 + 1 additionne au lieu de soustraire. M et
le plan sont du même côté : la distance est la différence
des altitudes.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q12 : Droites orthogonales et perpendiculaires Dans l'espace, deux droites sont dites orthogonales
lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que
peut-on dire de plus ?

]]> Vocabulaire précis : orthogonales = directions orthogonales
(sans exigence de rencontre) ; perpendiculaires = orthogonales
et sécantes. Les réflexes de géométrie plane
(perpendiculaire commune, transitivité) ne se transposent pas
tels quels à l'espace.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non
coplanaires est possible

]]> Bonne réponse : l'orthogonalité est une affaire de
directions. Deux droites orthogonales et sécantes sont
dites perpendiculaires ; mais des droites non coplanaires
peuvent très bien être orthogonales (dans un cube :
(AB) et (DH)).

]]> Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit

]]> Piège : dans l'espace, deux droites orthogonales peuvent
ne jamais se rencontrer (non coplanaires). L'angle
droit ne se réalise qu'entre leurs directions.

]]> Orthogonales signifie parallèles à des plans
perpendiculaires

]]> Erreur : cette reformulation ne caractérise pas
l'orthogonalité de deux droites (elle est à la fois trop
large et imprécise). Le critère est
u⃗ · v⃗ = 0.

]]> Deux droites orthogonales à une même troisième sont
parallèles entre elles

]]> Vrai dans le plan, faux dans l'espace : les arêtes
(AB) et (AD) d'un cube sont toutes deux orthogonales à
(AE) sans être parallèles.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q13 : Le carré scalaire Pour tout vecteur u⃗, que vaut u⃗ · u⃗ ?

]]> u⃗ · u⃗ = \|u⃗\|² : le pont entre
produit scalaire et longueurs. Toutes les formules de
normes développées (\|u⃗ + v⃗\|²…) en
découlent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\|²

]]> Bonne réponse : en coordonnées, u⃗ · u⃗ = x² + y² + z² = \|u⃗\|² : le produit scalaire
d'un vecteur avec lui-même est le carré de sa longueur.

]]> \|u⃗\|

]]> Puissance : le produit scalaire donne le carré de la
norme ; la norme elle-même exige une racine carrée.

]]> 0

]]> Erreur : u⃗ · u⃗ = 0 seulement pour le
vecteur nul : un vecteur n'est jamais orthogonal à
lui-même (sauf 0⃗).

]]> 2u⃗

]]> Erreur de nature : un produit scalaire est un nombre,
pas un vecteur.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q14 : Produit scalaire nul u⃗ et v⃗ sont deux vecteurs non nuls avec
u⃗ · v⃗ = 0. Que peut-on conclure ?

]]> Critère fondamental : \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}
\cdot \vec{v} = 0 (vecteurs non nuls). Toute la géométrie
de l'espace (droites orthogonales, vecteur normal…) repose
sur ce test.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ et v⃗ sont orthogonaux

]]> Bonne réponse : pour des vecteurs non nuls, produit
scalaire nul \iff orthogonalité : c'est LE critère
calculatoire des angles droits.

]]> L'un des deux vecteurs est nul

]]> Erreur : i⃗ · j⃗ = 0 avec deux vecteurs
parfaitement non nuls : le produit scalaire s'annule par
perpendicularité, pas seulement par nullité.

]]> u⃗ et v⃗ sont colinéaires

]]> Contresens complet : colinéaires non nuls donne
|u⃗ · v⃗| = \|u⃗\|\|v⃗\| ≠ 0 : le produit scalaire nul est l'exact opposé.

]]> \|u⃗\| = \|v⃗\|

]]> Sans rapport : l'orthogonalité ne contraint pas les
longueurs.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q15 : Développer avec la bilinéarité On sait que u⃗ · v⃗ = 3 et u⃗ · w⃗ = -1. Que vaut u⃗ · (2v⃗ + w⃗) ?

]]> Bilinéarité : u⃗ · (av⃗ + bw⃗) = a(u⃗ · v⃗) + b(u⃗ · w⃗) : le
produit scalaire se manie comme une multiplication : c'est
ce qui permet les développements de type
(u⃗+v⃗)².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : le produit scalaire se développe comme
un produit ordinaire : 2(u⃗ · v⃗) + u⃗ · w⃗ = 6 - 1 = 5.

]]> 2

]]> Coefficient perdu : le facteur 2 multiplie u⃗ · v⃗ = 3 : la linéarité conserve les
coefficients.

]]> 6

]]> Terme oublié : il manque la contribution u⃗ · w⃗ = -1.

]]> Impossible sans connaître les coordonnées

]]> Erreur : la bilinéarité suffit : les deux produits
scalaires donnés déterminent le résultat, coordonnées ou
pas.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q16 : Prouver un angle droit Soient A(1\ ;\ 1\ ;\ 1), B(2\ ;\ 3\ ;\ 1) et
C(3\ ;\ 0\ ;\ 1). Le triangle ABC est-il rectangle en
A ?

]]> Rectangle en A : tester AB⃗ · AC⃗ = 0 (les deux vecteurs partent du
sommet suspecté : erreur classique de prendre
AB⃗ et BC⃗).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : AB⃗ · AC⃗ = 1 × 2 + 2 × (-1) + 0 × 0 = 0

]]> Bonne réponse : AB⃗(1\ ;\ 2\ ;\ 0),
AC⃗(2\ ;\ -1\ ;\ 0) : produit scalaire
nul, angle droit en A (sommet des deux vecteurs).

]]> Non : aucun côté n'est parallèle à un axe

]]> Faux critère : un angle droit n'a pas besoin d'être
« aligné » sur le repère : le produit scalaire le
détecte dans toutes les directions.

]]> Oui, car AB = AC

]]> Mauvais argument : l'égalité des longueurs prouverait
l'isocèle (et ici AB = √5 = AC, certes),
mais l'angle droit se prouve par le produit scalaire
nul.

]]> On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle

]]> Erreur : le produit scalaire EST l'instrument de mesure :
nul \iff angle droit, sans rapporteur.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q17 : Calculer un angle On donne u⃗ · v⃗ = 6, \|u⃗\| = 2 et
\|v⃗\| = 6. Que vaut l'angle entre u⃗ et
v⃗ ?

]]> u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ, d'où cosθ = u⃗ · v⃗/\|u⃗\|\|v⃗\|. Signe
du produit scalaire = nature de l'angle : positif aigu,
négatif obtus, nul droit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60°, car cosθ = 6/2 × 6 = ½

]]> Bonne réponse : cosθ = u⃗ · v⃗/\|u⃗\| \|v⃗\| = 6/12, et
\arccos\frac{1}{2} = 60° (π/3).

]]> 30°

]]> Valeur croisée : \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87, pas 0{,}5 : c'est cos 60° = ½.

]]> 90°

]]> Erreur : 90° correspond à un produit scalaire nul ;
ici 6 ≠ 0 : l'angle est aigu (produit positif).

]]> 6°

]]> Erreur : le produit scalaire 6 n'est pas l'angle : il
faut le normaliser par les longueurs puis prendre
l'arccosinus.

]]> Orthogonalité et distances dans l'espace — Q18 : Pythagore version vectorielle u⃗ et v⃗ sont orthogonaux. Que vaut
\|u⃗ + v⃗\|² ?

]]> \|u⃗ + v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗· v⃗ + \|v⃗\|² dans tous les cas ; orthogonalité
\iff le double produit s'annule \iff Pythagore. La
réciproque est vraie aussi : l'égalité prouve
l'orthogonalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \|u⃗\|² + \|v⃗\|²

]]> Bonne réponse : le développement donne \|u⃗\|² + 2 u⃗ · v⃗ + \|v⃗\|², et
l'orthogonalité tue le double produit : Pythagore en
habits vectoriels.

]]> \|u⃗\|² + 2\|u⃗\|\|v⃗\| + \|v⃗\|²

]]> Double produit fantôme : 2u⃗ · v⃗ = 0
par orthogonalité : le terme croisé disparaît (il ne
vaut 2\|u⃗\|\|v⃗\| que pour des vecteurs
colinéaires de même sens).

]]> \|u⃗\| + \|v⃗\|

]]> Homogénéité : un carré de norme ne peut pas égaler une
somme de normes : les degrés ne collent pas.

]]> 0

]]> Erreur : la somme de deux vecteurs orthogonaux non nuls
n'est pas nulle : elle est la diagonale du rectangle
qu'ils dessinent.

]]>