$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Représentations paramétriques et équations cartésiennes Représentation paramétrique d'une droite de l'espace, équation
cartésienne d'un plan (ax + by + cz + d = 0, vecteur normal),
appartenance d'un point, intersection droite-plan, positions
relatives de deux plans, projeté orthogonal par le calcul.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q01 : Écrire une représentation paramétrique Quelle est une représentation paramétrique de la droite
passant par A(1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur
u⃗(2 ; -1 ; 0) ?

]]> Représentation paramétrique de la droite (A ; u⃗) :
\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\
z = z_A + t\,c \end{cases} où u⃗(a ; b ; c) et
t parcourt ℝ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 (t réel)

]]> Bonne réponse : point de départ (1 ; 2 ; 3) +
t fois la direction (2 ; -1 ; 0). La coordonnée
z reste constante car la direction n'a pas de composante
verticale.

]]> x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 3t

]]> Point et vecteur échangés : les constantes doivent être
les coordonnées du point A, et les coefficients de
t celles du vecteur directeur.

]]> x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3

]]> Erreur de signe : la deuxième coordonnée du vecteur
directeur est -1, donc y = 2 - t.

]]> x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t

]]> Erreur : la troisième coordonnée de u⃗ est 0 :
z ne dépend pas de t et reste égale à 3.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q02 : Lire un vecteur normal Soit le plan d'équation cartésienne 2x - 3y + z - 5 = 0.
Quel vecteur lui est normal ?

]]> Théorème clé : le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 admet
n⃗(a ; b ; c) pour vecteur normal, et
réciproquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n⃗(2 ; -3 ; 1)

]]> Bonne réponse : dans ax + by + cz + d = 0, les
coefficients (a ; b ; c) sont les coordonnées d'un
vecteur normal.

]]> n⃗(2 ; -3 ; -5)

]]> Erreur : -5 est le terme constant d, qui règle la
position du plan mais ne fait pas partie du vecteur
normal (a ; b ; c).

]]> n⃗(2 ; 3 ; 1)

]]> Erreur de signe : le coefficient de y est -3, il se
recopie tel quel dans le vecteur normal.

]]> n⃗(x ; y ; z)

]]> Erreur : x, y, z sont les inconnues de l'équation,
pas des coordonnées fixes. Le normal se lit sur les
coefficients : (2 ; -3 ; 1).

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q03 : Point d'une droite paramétrée Soit la droite d : x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3.
Quel point obtient-on pour t = 2 ?

]]> Chaque valeur du paramètre t produit un point de la droite :
pour t = 2, (1 + 4 ; 2 - 2 ; 3) = (5 ; 0 ; 3).
Inversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à
chercher un t commun aux trois équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (5 ; 0 ; 3)

]]> Bonne réponse : x = 1 + 4 = 5, y = 2 - 2 = 0,
z = 3.

]]> (4 ; -2 ; 0)

]]> Erreur : tu as calculé t u⃗ = (4 ; -2 ; 0) en
oubliant d'ajouter le point de départ (1 ; 2 ; 3).

]]> (3 ; 1 ; 3)

]]> Erreur : c'est le point obtenu pour t = 1. Pour t = 2,
on avance deux fois plus loin : (5 ; 0 ; 3).

]]> (5 ; 4 ; 3)

]]> Erreur de signe sur y : y = 2 - t = 2 - 2 = 0, pas
2 + 2.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q04 : Appartenance à un plan Soit \mathcal{P} le plan d'équation 2x - 3y + z - 5 = 0.
Lequel de ces points appartient à \mathcal{P} ?

]]> Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient
l'équation. Seul (1 ; -1 ; 0) donne
2 + 3 + 0 - 5 = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 ; -1 ; 0)

]]> Bonne réponse : 2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0 :
l'équation est vérifiée.

]]> (1 ; 1 ; 0)

]]> Erreur : 2 - 3 + 0 - 5 = -6 ≠ 0. Attention au signe
du produit -3y.

]]> (2 ; 0 ; 0)

]]> Erreur : 4 - 0 + 0 - 5 = -1 ≠ 0 : le point est tout
près du plan, mais pas dessus.

]]> (2 ; -3 ; 1)

]]> Piège : (2 ; -3 ; 1) sont les coordonnées du vecteur
normal, pas d'un point du plan. Vérification :
4 + 9 + 1 - 5 = 9 ≠ 0.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q05 : Direction d'une droite paramétrée Soit la droite d : x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3.
Quel vecteur dirige d ?

]]> Dans une représentation paramétrique, les constantes
forment un point de la droite et les coefficients de t un
vecteur directeur. Ici : A(1 ; 2 ; 3) et
u⃗(2 ; -1 ; 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(2 ; -1 ; 0)

]]> Bonne réponse : les coefficients de t dans les trois
équations donnent la direction : (2 ; -1 ; 0).

]]> u⃗(1 ; 2 ; 3)

]]> Erreur : (1 ; 2 ; 3) sont les termes constants,
c'est-à-dire le point obtenu pour t = 0, pas la
direction.

]]> u⃗(2 ; -1 ; 3)

]]> Erreur : le 3 de z = 3 est une constante (z ne bouge
pas avec t) : la troisième coordonnée du vecteur
directeur est 0.

]]> u⃗(2 ; 1 ; 0)

]]> Erreur de signe : y = 2 - t donne un coefficient -1
pour t.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q06 : Équation d'un plan par point et normal Quelle est une équation cartésienne du plan passant par
A(1 ; 0 ; 2) et de vecteur normal
n⃗(3 ; 1 ; -2) ?

]]> Méthode : partir de ax + by + cz + d = 0 avec
(a ; b ; c) = n⃗, puis déterminer d en écrivant
que les coordonnées de A vérifient l'équation :
3(1) + 1(0) - 2(2) + d = 0 ⇒ d = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x + y - 2z + 1 = 0

]]> Bonne réponse : l'équation est 3x + y - 2z + d = 0 ; en
imposant le passage par A : 3 + 0 - 4 + d = 0, donc
d = 1.

]]> 3x + y - 2z - 1 = 0

]]> Erreur de signe sur d : en substituant A, on trouve
3 - 4 + d = 0, soit d = +1. Vérifie toujours en
réinjectant le point.

]]> x + 2z - 3 = 0

]]> Erreur : les coefficients de l'équation doivent être les
coordonnées du normal (3 ; 1 ; -2). Ici tu as
utilisé les coordonnées du point A.

]]> 3x + y - 2z = 0

]]> Incomplet : ce plan a le bon vecteur normal mais passe par
l'origine, pas par A (vérifie : 3 + 0 - 4 = -1 ≠ 0). Le terme constant d = 1 manque.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q07 : Droite parallèle à un plan Soit une droite d de vecteur directeur u⃗ et un plan
\mathcal{P} de vecteur normal n⃗. À quelle condition
d est-elle parallèle à \mathcal{P} ?

]]> Trio à mémoriser : u⃗ · n⃗ = 0 : droite
parallèle au plan (ou incluse) ; u⃗ colinéaire à
n⃗ : droite perpendiculaire ; sinon : droite sécante
oblique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗ · n⃗ = 0

]]> Bonne réponse : la direction de la droite doit être une
direction du plan, donc orthogonale au normal.

]]> u⃗ et n⃗ colinéaires

]]> Contresens : directeur colinéaire au normal signifie
droite perpendiculaire au plan, la situation opposée.

]]> u⃗ · n⃗ ≠ 0

]]> Erreur : u⃗ · n⃗ ≠ 0 signifie que la
droite perce le plan (sécante en un point).

]]> u⃗ = n⃗

]]> Erreur : l'égalité est un cas particulier de colinéarité :
droite perpendiculaire au plan, pas parallèle.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q08 : Intersection d'une droite et d'un plan Soit la droite d : x = t, y = 1 + t, z = 2 - t, et le
plan \mathcal{P} : x + y + z - 6 = 0. En quel point d
coupe-t-elle \mathcal{P} ?

]]> Méthode systématique : substituer les expressions
paramétriques dans l'équation du plan, résoudre en t, puis
réinjecter. t = 3 donne (3 ; 4 ; -1). Vérification :
3 + 4 - 1 - 6 = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3 ; 4 ; -1)

]]> Bonne réponse : en substituant, t + (1+t) + (2-t) - 6 = t - 3 = 0, donc t = 3, ce qui donne le point
(3 ; 4 ; -1).

]]> (1 ; 2 ; 1)

]]> Erreur : c'est le point de d pour t = 1 ; or
1 + 2 + 1 - 6 = -2 ≠ 0, il n'est pas dans le plan.
Il faut résoudre t - 3 = 0.

]]> (2 ; 3 ; 0)

]]> Erreur : pour t = 2, la somme vaut 2 + 3 + 0 - 6 = -1 ≠ 0. La substitution complète donne t = 3.

]]> Ils ne se coupent pas

]]> Erreur : l'équation en t obtenue par substitution
(t - 3 = 0) a une solution : intersection en un point
unique. (Pas de solution signifierait droite strictement
parallèle au plan.)

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q09 : Position relative de deux plans Soient les plans \mathcal{P}_1 : 2x - y + z - 1 = 0 et
\mathcal{P}_2 : 4x - 2y + 2z + 7 = 0. Quelle est leur
position relative ?

]]> Deux plans : normaux colinéaires ⇒ parallèles
(confondus si une équation est multiple de l'autre, y compris
le terme constant) ; normaux non colinéaires ⇒
sécants selon une droite. Ici : parallèles stricts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement parallèles

]]> Bonne réponse : les normaux (2 ; -1 ; 1) et
(4 ; -2 ; 2) sont colinéaires (facteur 2), donc
plans parallèles ; et 2 × (-1) = -2 ≠ 7 : ils ne
sont pas confondus.

]]> Sécants selon une droite

]]> Erreur : des plans sécants ont des normaux non
colinéaires. Ici (4 ; -2 ; 2) = 2(2 ; -1 ; 1) :
même direction normale, donc parallèles.

]]> Confondus

]]> Presque : les normaux sont bien colinéaires, mais en
multipliant la première équation par 2 on obtient
4x - 2y + 2z - 2 = 0, dont le terme constant (-2)
diffère de +7 : deux plans distincts.

]]> Perpendiculaires

]]> Erreur : perpendiculaires exigerait des normaux
orthogonaux ; or \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 8 + 2 +
2 = 12 \neq 0.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q10 : Que représente une équation dans l'espace ? Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation
x + y + z = 1 représente-t-elle ?

]]> Dans l'espace, une équation cartésienne du premier degré = un
plan. Les droites, elles, n'ont pas d'équation cartésienne
unique : elles se décrivent par représentation paramétrique ou
comme intersection de deux plans.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un plan

]]> Bonne réponse : toute équation du premier degré
ax + by + cz + d = 0 (coefficients non tous nuls) décrit
un plan, ici de vecteur normal (1 ; 1 ; 1).

]]> Une droite

]]> Piège hérité du plan : en dimension 2, x + y = 1 est une
droite, mais dans l'espace une équation unique laisse
deux degrés de liberté : c'est un plan. Une droite exige
un système de deux équations (ou une représentation
paramétrique).

]]> Un point

]]> Erreur : un point demanderait trois équations
indépendantes. Une seule équation laisse une surface
entière de solutions.

]]> Une sphère

]]> Erreur : une sphère a une équation du second degré,
du type (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r². Ici tout est
au premier degré : plan.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q11 : Projeté orthogonal par le calcul Soit M(2 ; 2 ; 2) et le plan \mathcal{P} :
x + y + z - 3 = 0. Quel est le projeté orthogonal H de M
sur \mathcal{P} ?

]]> Méthode (capacité attendue) : paramétrer la droite passant par
M dirigée par n⃗, substituer dans l'équation du plan,
résoudre en t. Ici t = -1 donne H(1 ; 1 ; 1), et
MH = √3 est la distance de M au plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc H(1 ; 1 ; 1)

]]> Bonne réponse : la droite par M dirigée par le normal
(1 ; 1 ; 1) s'écrit (2+t ; 2+t ; 2+t) ;
substitution : 6 + 3t - 3 = 0, t = -1, d'où
H(1 ; 1 ; 1).

]]> H(2 ; 2 ; 2)

]]> Erreur : ce serait M lui-même, qui n'est pas dans le
plan (2+2+2-3 = 3 ≠ 0). Le projeté est le pied de la
perpendiculaire issue de M.

]]> H(3 ; 3 ; 3)

]]> Erreur de signe sur t : la substitution donne
3t + 3 = 0, donc t = -1 (on redescend vers le
plan), pas t = +1.

]]> H(0 ; 0 ; 3)

]]> Erreur : ce point appartient bien au plan, mais
MH⃗(-2 ; -2 ; 1) n'est pas colinéaire au normal
(1 ; 1 ; 1) : la projection ne serait pas
orthogonale.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q12 : Reconnaître une propriété sur la paramétrique Soit la droite d : x = 1 + t, y = 2, z = 3 - t.
Quelle affirmation est correcte ?

]]> Une coordonnée constante dans la représentation paramétrique
signifie que la droite reste dans le plan correspondant : ici
y = 2 pour tout t, donc d ⊂ plan \{y = 2\}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d est incluse dans le plan d'équation y = 2

]]> Bonne réponse : la coordonnée y vaut 2 pour tout
t : chaque point de la droite vérifie l'équation du plan
y = 2.

]]> d est parallèle à l'axe des ordonnées

]]> Erreur : son vecteur directeur (1 ; 0 ; -1) n'est pas
colinéaire à (0 ; 1 ; 0). C'est même l'inverse : la
droite est orthogonale à l'axe des ordonnées.

]]> d passe par l'origine

]]> Erreur : il faudrait y = 0 pour un certain t, or y
vaut constamment 2.

]]> u⃗(1 ; 2 ; 3) dirige d

]]> Erreur : (1 ; 2 ; 3) sont les constantes (le point
pour t = 0). La direction se lit sur les coefficients de
t : (1 ; 0 ; -1).

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q13 : Reconnaître deux plans parallèles Les plans P : 2x - y + z = 1 et Q : 4x - 2y + 2z = 5
sont-ils parallèles ?

]]> Deux plans : normales colinéaires ⇒ parallèles ;
équations entièrement proportionnelles ⇒
confondus ; sinon sécants (en une droite). Tout se lit sur
les coefficients.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, parallèles et distincts : les normales sont
colinéaires mais les équations ne sont pas
proportionnelles

]]> Bonne réponse : n⃗_Q = 2n⃗_P : mêmes
directions ; mais 1 × 2 = 2 ≠ 5 : pas le même
plan : parallèles stricts, aucune intersection.

]]> Non : leurs équations sont différentes

]]> Critère trop naïf : le parallélisme se lit sur les
vecteurs normaux ((2\ ;\ -1\ ;\ 1) et (4\ ;\ -2\ ;\ 2), colinéaires), pas sur l'égalité des équations.

]]> Ils sont confondus

]]> Presque : confondus exigerait la proportionnalité
complète (5 = 2 × 1 ? non) : le point
(0\ ;\ 0\ ;\ 1) est dans P mais pas dans Q.

]]> Ils sont perpendiculaires

]]> Erreur : perpendiculaires demanderait n⃗_P · n⃗_Q = 0 ; ici 8 + 2 + 2 = 12 ≠ 0.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q14 : Droite orthogonale à un plan Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par
A et orthogonale au plan P : 3x - y + 2z = 7 ?

]]> Le trio gagnant : équation ax + by + cz = d → normale
(a\ ;\ b\ ;\ c) → direction de toute droite
orthogonale au plan. Paramétrique immédiate : A + tn⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n⃗(3\ ;\ -1\ ;\ 2) : le vecteur normal du plan

]]> Bonne réponse : une droite orthogonale à un plan a pour
direction la normale du plan : les coefficients de
l'équation servent directement.

]]> Un vecteur du plan P

]]> Contresens : un vecteur du plan dirigerait une
droite parallèle au plan, pas orthogonale.

]]> u⃗(7\ ;\ 7\ ;\ 7), à cause du second membre 7

]]> Erreur : le second membre 7 règle la position du
plan, pas son orientation : la direction normale vient
des coefficients (3\ ;\ -1\ ;\ 2).

]]> N'importe quel vecteur passant par A

]]> Erreur : « passer par A » ne contraint pas la
direction : l'orthogonalité impose la normale, à une
colinéarité près.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q15 : Intersection de deux droites paramétrées Soient d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 2t\ ;\ 3) et
d' : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (2\ ;\ 2 + s\ ;\ 3). Ces droites
sont-elles sécantes ?

]]> Intersection de droites paramétrées : paramètres séparés
(t et s), système sur les trois coordonnées, deux
équations déterminent (t\ ;\ s), la troisième arbitre
(compatible = sécantes, incompatible = non coplanaires).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, au point (2\ ;\ 2\ ;\ 3) (pour t = 1 et s = 0)

]]> Bonne réponse : égaler : 1 + t = 2 donne t = 1 ;
alors y = 2 exige 2 + s = 2, donc s = 0 ; les
cotes 3 = 3 concordent : point commun unique.

]]> Non : leurs paramètres t et s sont différents

]]> Erreur de principe : chaque droite a SON paramètre :
l'intersection n'exige jamais t = s, seulement des
coordonnées égales (d'où deux inconnues distinctes).

]]> Non : elles sont parallèles

]]> Erreur : directions (1\ ;\ 2\ ;\ 0) et (0\ ;\ 1\ ;\ 0) : non colinéaires : les droites ne sont pas
parallèles.

]]> Oui, en une infinité de points

]]> Erreur : une infinité de points communs signifierait
droites confondues : leurs directions différentes
l'interdisent : un seul point.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q16 : Droite incluse dans un plan La droite d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)
est-elle incluse dans le plan P : x + y - 2 = 0 ?

]]> Position droite/plan par injection : équation en t après
substitution. Identité (0 = 0) : droite incluse ; équation
impossible : parallèle stricte ; une solution unique : point
d'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : (1 + t) + (1 - t) - 2 = 0 pour tout t

]]> Bonne réponse : en injectant la paramétrique dans
l'équation, le paramètre disparaît et l'égalité tient
pour tout t : chaque point de la droite est dans
le plan.

]]> Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement
deux termes

]]> Erreur de lecture : l'absence de z dans l'équation
signifie coefficient nul, pas incompatibilité : le plan
vit bien dans l'espace.

]]> Seulement le point obtenu pour t = 0

]]> Sous-estimation : le test donne 0 = 0 indépendamment
de t : ce n'est pas une équation à résoudre mais une
identité : toute la droite est dedans.

]]> On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la
droite

]]> Erreur : l'injection paramétrique → cartésienne est
exactement l'outil adapté (et une droite de l'espace n'a
d'ailleurs pas UNE équation cartésienne).

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q17 : Intersection de deux plans sécants Que forme l'intersection des plans P : x + y + z = 3 et
Q : x - y = 1 (dont les normales ne sont pas
colinéaires) ?

]]> Deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une
droite : la résoudre = poser z = t (par exemple) et
exprimer x, y en fonction de t : le système devient
une représentation paramétrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite ; par exemple, elle contient le point
(1\ ;\ 0\ ;\ 2)

]]> Bonne réponse : deux plans non parallèles se coupent
selon une droite. Contrôle du point : 1 + 0 + 2 = 3 ✓ et 1 - 0 = 1 ✓.

]]> Un point unique

]]> Erreur de dimension : un point unique demande trois
plans bien choisis (ou une droite et un plan) : deux
plans sécants laissent un degré de liberté : une droite.

]]> L'ensemble vide

]]> Erreur : vide = plans parallèles distincts, or leurs
normales (1\ ;\ 1\ ;\ 1) et (1\ ;\ -1\ ;\ 0) ne sont
pas colinéaires : ils se coupent.

]]> Un plan

]]> Erreur : l'intersection serait un plan si P = Q ;
leurs équations ne sont pas proportionnelles.

]]> Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q18 : Paramétrer un segment Comment décrire le segment [AB] à partir de la
représentation M(t) = A + t AB⃗ ?

]]> M(t) = A + tAB⃗ : t ∈ ℝ :
droite ; t ≥ 0 : demi-droite ; t ∈ [0\ ;\ 1] :
segment (et t = ½ : le milieu). Le paramètre
est un curseur de position.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En restreignant le paramètre : t ∈ [0\ ;\ 1]

]]> Bonne réponse : t = 0 donne A, t = 1 donne B,
et les valeurs intermédiaires balaient l'intérieur du
segment : la droite entière correspondrait à t ∈ ℝ.

]]> En prenant t ∈ ℝ

]]> Trop grand : t = 2 ou t = -1 sortent du segment
(au-delà de B, avant A) : ℝ décrit toute
la droite (AB).

]]> En imposant t > 0

]]> Demi-mesure : t > 0 décrit la demi-droite ouverte
issue de A vers B… et au-delà : il faut aussi
plafonner à 1.

]]> Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite
entière

]]> Erreur : le domaine du paramètre fait partie de la
description : segment, demi-droite ou droite selon
l'intervalle choisi.

]]>