$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Schéma de Bernoulli et loi binomiale Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste
d'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de
Bernoulli, loi binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p) : formule
P(X = k), espérance et variance, problèmes de seuil.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q01 : Épreuve de Bernoulli Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre p ?

]]> Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de
probabilité p. La variable qui vaut 1 en cas de succès et
0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès
(probabilité p) et échec (probabilité 1 - p)

]]> Bonne réponse : deux issues seulement, avec p pour le
succès. Exemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce
défectueuse ou conforme.

]]> Une expérience répétée p fois

]]> Erreur : p est une probabilité (entre 0 et 1),
pas un nombre de répétitions. La répétition relève du
schéma de Bernoulli, avec un paramètre n entier.

]]> Une expérience dont les issues sont équiprobables

]]> Erreur : rien n'impose p = ½. Une épreuve de
Bernoulli peut être très déséquilibrée (p = 0{,}01).

]]> Une expérience à deux issues répétée indéfiniment

]]> Erreur : l'épreuve de Bernoulli est une seule
expérience. Sa répétition en nombre fixé n constitue le
schéma de Bernoulli.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q02 : Conditions d'une loi binomiale Dans quelle situation la variable X suit-elle une loi
binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p) ?

]]> X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) exige : n répétitions d'une
même épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages
avec remise), et X = nombre de succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc X compte les succès dans la répétition de n épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p

]]> Bonne réponse : trois ingrédients : même épreuve,
indépendance des répétitions, et X = nombre de
succès.

]]> X compte les succès dans n tirages sans remise dans
une urne

]]> Piège classique : sans remise, la composition de l'urne
change à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques
ni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est
binomial.)

]]> X est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves

]]> Erreur : le rang du premier succès suit une loi
géométrique (approfondissement), pas binomiale. La
binomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves.

]]> X prend ses valeurs entre 0 et n

]]> Insuffisant : bien des variables vivent dans
\{0, \ldots, n\} sans être binomiales. Ce sont les
hypothèses de répétition indépendante qui font la
binomiale.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q03 : Probabilité d'une liste d'issues On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec p = 0{,}3. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?

]]> Principe fondamental de la succession d'épreuves
indépendantes : P(x₁, …, xₙ) = P(x₁) × ⋯ × P(xₙ). Ici 0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063

]]> Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une
liste d'issues est le produit des probabilités de
chaque issue.

]]> 0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1.
L'addition sert pour des événements incompatibles ; une
succession d'issues se traite par produit.

]]> 0{,}3^3 = 0{,}027

]]> Erreur : 0{,}3^3 est la probabilité de (succès, succès,
succès). La deuxième épreuve est ici un échec, de
probabilité 0{,}7.

]]> 0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147

]]> Erreur : cette liste compterait un succès et deux
échecs. La liste demandée contient deux succès et un
échec : 0{,}3^2 \times 0{,}7.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q04 : Calculer $P(X = k)$ Soit X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2). Que vaut P(X = 2) ?

]]> Formule binomiale : P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}.
Le coefficient compte les positions des succès, les puissances
donnent la probabilité d'une liste. Ici 0{,}2048.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}2048

]]> Bonne réponse : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} :
10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 0{,}2048.

]]> 0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048

]]> Oubli du coefficient binomial : 0{,}2^2 \times 0{,}8^3
est la probabilité d'une seule liste à deux succès. Il
y a \binom{5}{2} = 10 listes possibles.

]]> 0{,}2^2 = 0{,}04

]]> Erreur : cette écriture ignore les trois échecs (facteur
0{,}8^3) et le nombre de placements des succès (facteur
\binom{5}{2}).

]]> \dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}32

]]> Erreur d'exposant : il y a n - k = 3 échecs, donc
0{,}8^3, pas 0{,}8^1. Les exposants doivent totaliser
n = 5.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q05 : Espérance d'une binomiale Soit X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3). Que vaut E(X) ?

]]> Pour X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) : E(X) = np et
V(X) = np(1-p). Ici E(X) = 6 et V(X) = 4{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6. En
moyenne, 6 succès sur 20 épreuves.

]]> 0{,}3

]]> Erreur : 0{,}3 est l'espérance d'une seule épreuve de
Bernoulli. Sur 20 épreuves, les espérances s'additionnent
: 20 \times 0{,}3.

]]> 20

]]> Erreur : 20 est le nombre d'épreuves, atteint seulement
si tout réussit. La moyenne pondère par p : np = 6.

]]> 4{,}2

]]> Confusion : 4{,}2 = np(1-p) est la variance de X,
pas son espérance.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q06 : Variance d'une binomiale Soit X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3). Que vaut V(X) ?

]]> V(X) = np(1-p) pour une binomiale (démonstration au
programme via la somme de n Bernoulli indépendantes). Ici
20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4{,}2

]]> Bonne réponse : V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}3 \times
0{,}7 = 4{,}2.

]]> 6

]]> Confusion : 6 = np est l'espérance. La variance
ajoute le facteur (1-p) : np(1-p) = 4{,}2.

]]> \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05

]]> Confusion : √np(1-p) est l'écart-type
σ(X). La variance est son carré : 4{,}2.

]]> 14

]]> Erreur : 14 = 20 \times 0{,}7 = n(1-p) est l'espérance du
nombre d'échecs. La variance vaut np(1-p).

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q07 : Chemins dans l'arbre On représente un schéma de Bernoulli à n = 3 épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement 2 succès ?

]]> Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à k succès
parmi n épreuves sont au nombre de \binom{n}{k} : c'est
exactement l'origine du coefficient dans la formule
binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{3}{2} = 3

]]> Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions
des succès : SSE, SES, ESS, soit \binom{3}{2} = 3
chemins.

]]> 2

]]> Erreur : ne confonds pas le nombre de succès (2) avec
le nombre de chemins qui le réalisent (\binom{3}{2} = 3).

]]> 8

]]> Erreur : 2³ = 8 est le nombre total de chemins de
l'arbre. Seuls 3 d'entre eux comptent exactement deux
succès.

]]> 6

]]> Erreur : 6 = 3! ordonnerait trois objets distincts. Ici
les deux succès sont interchangeables : \binom{3}{2} = 3.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q08 : Passer par l'événement contraire Soit X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5). Que vaut
P(X ≥ 1) ?

]]> Réflexe « au moins un » : passer au contraire.
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)ⁿ. Ici
1 - 0{,}0625 = 0{,}9375.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375

]]> Bonne réponse : l'événement contraire de
« au moins un succès » est « aucun succès » :
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4.

]]> 0{,}5^4 = 0{,}0625

]]> Erreur : 0{,}5^4 = P(X = 0), la probabilité de
l'événement contraire. Il faut la retrancher de 1.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est la probabilité d'un succès sur une
épreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès
est bien plus probable : 0{,}9375.

]]> 4 \times 0{,}5 = 2

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas 1 (2 est
ici l'espérance np). Le bon chemin passe par le
complémentaire.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q09 : Écrire $P(X \geq 8)$ pour la calculatrice Soit X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9). La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées P(X ≤ k). Quelle
écriture donne P(X ≥ 8) ?

]]> Pour une variable entière : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
L'erreur de borne (utiliser k au lieu de k-1) est le piège
le plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - P(X ≤ 7)

]]> Bonne réponse : le contraire de « X ≥ 8 » est
« X ≤ 7 » (variable à valeurs entières). D'où
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7).

]]> 1 - P(X ≤ 8)

]]> Erreur de borne classique : 1 - P(X ≤ 8) = P(X ≥ 9), ce qui exclut la valeur 8. Le contraire
de X ≥ 8 s'arrête à 7.

]]> P(X ≤ 8)

]]> Erreur de sens : P(X ≤ 8) cumule les valeurs
jusqu'à 8, alors qu'on veut celles à partir de 8.

]]> P(X = 8)

]]> Incomplet : X ≥ 8 regroupe les valeurs 8, 9 et
10 ; il manque P(X = 9) et P(X = 10).

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q10 : Avec ou sans remise Une urne contient 10 boules dont 3 gagnantes. On tire 5
boules et on note X le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas X suit-il exactement une loi binomiale ?

]]> Le critère de la binomiale est l'indépendance des
répétitions avec un p constant : tirages avec remise (ou
situations assimilées). Sans remise, le modèle change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si les tirages se font avec remise

]]> Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve
identique (p = 0{,}3) et indépendante des autres :
X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}3).

]]> Si les tirages se font sans remise

]]> Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à
chaque tirage : le paramètre p n'est plus constant et les
épreuves ne sont plus indépendantes.

]]> Dans les deux cas

]]> Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige
des épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la
remise garantit.

]]> Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages

]]> Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules
gagnantes ; rien n'empêche X = 5. Le modèle binomial
s'applique parfaitement.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q11 : Modéliser un QCM au hasard Un QCM comporte 7 questions ; chacune propose 4 options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre X de bonnes réponses ?

]]> Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de
paramètre p = ¼, répétée 7 fois de façon
indépendante. X \sim \mathcal{B}(7\,;\,1/4).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)

]]> Bonne réponse : 7 épreuves identiques et indépendantes,
succès = bonne réponse de probabilité ¼.
Espérance : 7/4 = 1{,}75 bonne réponse en moyenne.

]]> X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)

]]> Erreur : ¾ est la probabilité d'une réponse
fausse. Le succès compté par X est la bonne réponse :
p = ¼.

]]> X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)

]]> Paramètres croisés : n est le nombre de répétitions
(7 questions) et p la probabilité de succès à chacune
(1/4).

]]> X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)

]]> Erreur : 28 = 7 × 4 compte les options, pas les
épreuves. Chaque question est une épreuve : n = 7.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q12 : Interpréter l'espérance Soit X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4), donc E(X) = 40.
Quelle interprétation est correcte ?

]]> E(X) est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand
nombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations
individuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en
proportion) que n est grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience
complète, le nombre de succès vaut en moyenne environ
40

]]> Bonne réponse : l'espérance est une moyenne en tendance
(loi des grands nombres), pas une garantie sur une
réalisation donnée.

]]> À chaque expérience, X vaut exactement 40

]]> Erreur : X fluctue autour de 40 (écart-type
\sqrt{24} \approx 4{,}9). Observer 35 ou 46 n'a rien
d'anormal.

]]> P(X = 40) vaut environ 0{,}4

]]> Erreur : la probabilité de la valeur exacte 40 est
d'environ 0{,}08 seulement. L'espérance ne se lit pas
comme une probabilité.

]]> Il est impossible d'obtenir plus de 40 succès

]]> Erreur : X peut prendre toute valeur de 0 à 100 ;
40 n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q13 : Aucun succès X suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p =
0{,}2. Que vaut P(X = 0) ?

]]> P(X = 0) = (1 - p)ⁿ : le cas particulier le plus utile de
la formule binomiale, porte d'entrée du calcul de P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}8^3 = 0{,}512

]]> Bonne réponse : zéro succès = trois échecs consécutifs,
chacun de probabilité 0{,}8, indépendants : 0{,}8^3
(et \binom{3}{0} = 1 ne change rien).

]]> 0{,}2^3 = 0{,}008

]]> Inversé : 0{,}2^3 est P(X = 3) (trois succès).
Aucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec
0{,}8.

]]> 0

]]> Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait
possible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un
événement impossible.

]]> 1 - 0{,}2 = 0{,}8

]]> Puissance manquante : 0{,}8 est l'échec sur UNE
épreuve ; il en faut trois de suite : 0{,}8^3.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q14 : Écart-type d'une binomiale X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p =
0{,}5. Que vaut l'écart-type σ(X) ?

]]> Binomiale : E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √np(1-p). L'ordre de grandeur \sigma \approx
\frac{\sqrt{n}}{2} (pour p = 0{,}5) nourrit l'intuition
des fluctuations d'échantillonnage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 5

]]> Bonne réponse : V(X) = np(1-p) = 25, puis racine
carrée : σ = 5. Sur 100 lancers équilibrés,
l'écart typique autour de 50 est 5.

]]> σ(X) = 25

]]> Racine oubliée : 25 est la variance ; l'écart-type
en est la racine carrée.

]]> σ(X) = 50

]]> Confusion : 50 = np est l'espérance, le centre de
la distribution ; l'écart-type mesure la dispersion
autour de ce centre.

]]> σ(X) = 10

]]> Erreur : 10 = √100 néglige le facteur p(1-p) =
0{,}25 : la racine porte sur le produit complet.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q15 : Calculer $P(X \leq 1)$ X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
0{,}5. Que vaut P(X ≤ 1) ?

]]> Probabilité cumulée = somme des P(X = k) concernés. Avec
p = 0{,}5, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne
1, 4, 6, 4, 1 sur 2⁴ = 16.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(X = 0) + P(X = 1) = 1/16 + 4/16 = 5/16

]]> Bonne réponse : deux termes : \binom{4}{0}(0{,}5)^4 =
\frac{1}{16} et \binom{4}{1}(0{,}5)^4 = \frac{4}{16} :
l'événement « au plus un succès » se découpe en \{0\}
et \{1\}.

]]> P(X = 1) = 4/16 seulement

]]> Cas X = 0 oublié : « au plus 1 » inclut zéro
succès : les deux termes s'ajoutent.

]]> ½, par symétrie

]]> Symétrie mal placée : la symétrie de p = 0{,}5 relie
P(X ≤ 1) et P(X ≥ 3) (chacune 5/16),
mais le point médian est X = 2.

]]> 2/16

]]> Coefficients oubliés : les \binom{4}{k} comptent les
chemins : 1 chemin pour zéro succès, 4 pour un
succès : 5/16.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q16 : Quand le modèle binomial échoue On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?

]]> Points de contrôle du modèle binomial : 1) n fixé à
l'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux
issues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre
manquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)
casse le modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à
l'avance : on s'arrête au premier succès

]]> Bonne réponse : la binomiale exige un nombre n
d'épreuves déterminé avant l'expérience ; ici la
durée est aléatoire (c'est le territoire de la loi
géométrique, vue en maths complémentaires).

]]> Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli

]]> Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve
de Bernoulli (p = ⅙) : le problème est
ailleurs (le nombre d'épreuves).

]]> Parce que les lancers ne sont pas indépendants

]]> Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la
condition qui manque est le nombre fixé de
répétitions.

]]> Mais si : tout comptage suit une loi binomiale

]]> Erreur : la binomiale compte les succès sur n épreuves
fixées : compter l'attente du premier succès est un
tout autre objet.

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q17 : Symétrie de la binomiale équilibrée X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p =
0{,}5. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?

]]> Pour p = 0{,}5 : P(X = k) = \binom{n}{k}(0{,}5)^n, et
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} : symétrie parfaite autour
de n/2. Pour p \neq 0{,}5, l'histogramme penche
du côté le plus probable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(X = k) = P(X = 10 - k) pour tout k

]]> Bonne réponse : avec p = 0{,}5, échanger succès et
échecs ne change rien : 3 succès et 7 succès sont
équiprobables : histogramme en miroir autour de 5.

]]> P(X = k) = P(X = k + 1)

]]> Erreur : les probabilités varient avec k (maximum au
centre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,
pas un plateau.

]]> P(X = k) = 1/11 pour tout k

]]> Loi uniforme imaginée : les \binom{10}{k} pèsent
différemment chaque valeur : P(X = 5) = \frac{252}{1024}
\gg P(X = 0) = \frac{1}{1024}.

]]> P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)

]]> Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les
rend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison
de valoir 1).

]]> Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q18 : Espérance et gain moyen Un jeu se répète 50 fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité 0{,}3 et rapporte alors 2 euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?

]]> Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, E(X) = np, puis linéarité E(2X) = 2E(X). L'espérance s'interprète
comme moyenne de long terme : la boussole des décisions
répétées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30 euros : E(X) = 50 \times 0{,}3 = 15 parties
gagnées en moyenne, à 2 euros chacune

]]> Bonne réponse : X (nombre de victoires) suit la
binomiale (50\ ;\ 0{,}3) : E(X) = 15 ; le gain vaut
2X, d'espérance 2 × 15 = 30 euros.

]]> 100 euros : 50 × 2

]]> Rêve de victoire totale : 100 euros supposerait
toutes les parties gagnées ; en moyenne, seules
30\ % le sont.

]]> 15 euros

]]> Gain unitaire oublié : 15 est le nombre moyen de
parties gagnées ; chacune rapporte 2 euros :
30 euros.

]]> Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire

]]> Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série
est imprévisible, mais l'espérance (30 euros) décrit
la moyenne sur un grand nombre de séries : c'est
exactement son rôle.

]]>