$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Sommes de variables aléatoires Linéarité de l'espérance (E(X+Y), E(aX)), additivité de la
variance pour des variables indépendantes, V(aX) = a² V(X),
échantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la
somme Sₙ et de la moyenne Mₙ, décomposition d'une binomiale
en somme de variables de Bernoulli.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q01 : Espérance d'une somme Soient X et Y deux variables aléatoires avec E(X) = 3 et
E(Y) = 5. Que vaut E(X + Y) ?

]]> Linéarité de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et
E(aX) = a E(X), sans aucune hypothèse d'indépendance.
C'est l'outil le plus puissant du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8, sans hypothèse supplémentaire

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,
E(X+Y) = E(X) + E(Y), vaut toujours, indépendance ou
non.

]]> 8, mais seulement si X et Y sont indépendantes

]]> Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les
variances, pas les espérances. La linéarité de
l'espérance est inconditionnelle.

]]> 15

]]> Erreur : 15 = 3 × 5 serait un produit. La somme des
variables donne la somme des espérances : 3 + 5 = 8.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître les lois de X et Y

]]> Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans
connaître les lois ni le lien entre les variables.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q02 : Espérance de $aX$ Soit X une variable aléatoire avec E(X) = 2. Que vaut
E(3X) ?

]]> E(aX) = a E(X) : un facteur constant sort tel quel de
l'espérance (contrairement à la variance, où il sort au
carré).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : E(aX) = a E(X) = 3 × 2 = 6.

]]> 2

]]> Erreur : multiplier la variable par 3 multiplie aussi sa
valeur moyenne par 3.

]]> 18

]]> Erreur : 18 = 3² × 2 applique la règle de la
variance (V(aX) = a²V(X)). Pour l'espérance, le
facteur sort sans être élevé au carré.

]]> 5

]]> Erreur : 3 + 2 additionne le coefficient et l'espérance.
La règle est multiplicative : E(3X) = 3E(X).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q03 : Variance de $aX$ Soit X une variable aléatoire avec V(X) = 2. Que vaut
V(3X) ?

]]> V(aX) = a² V(X) (et donc σ(aX) = |a| σ(X)).
Moyen mémo : la variance s'exprime en unités au carré, le
facteur y entre au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 18

]]> Bonne réponse : V(aX) = a² V(X) = 9 × 2 = 18. La
variance est une moyenne de carrés d'écarts : le
facteur sort au carré.

]]> 6

]]> Erreur très fréquente : 3V(X) applique la règle de
l'espérance. Les écarts sont multipliés par 3, donc leurs
carrés par 9.

]]> 2

]]> Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La
variance est multipliée par a² = 9.

]]> 12

]]> Erreur : 12 = 6 × 2 ne correspond à aucune règle.
La formule exacte est V(aX) = a²V(X) = 18.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q04 : Additivité de la variance Sous quelle hypothèse a-t-on V(X + Y) = V(X) + V(Y) ?

]]> V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
Sans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser
(Y = -X) ou se renforcer (Y = X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque X et Y sont indépendantes

]]> Bonne réponse : l'additivité de la variance exige
l'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la
succession d'épreuves indépendantes).

]]> Toujours, comme pour l'espérance

]]> Erreur : contre-exemple, Y = -X (avec V(X) > 0) :
V(X + Y) = V(0) = 0 alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0.

]]> Lorsque X et Y ont la même loi

]]> Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. X et
-X... ou encore Y = X : V(2X) = 4V(X) ≠ 2V(X).

]]> Lorsque E(X) = E(Y) = 0

]]> Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.
Y = -X centrée fournit encore le contre-exemple.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q05 : Variance d'une différence Soient X et Y indépendantes avec V(X) = 4 et V(Y) = 1.
Que vaut V(X - Y) ?

]]> Pour X, Y indépendantes :
V(X - Y) = V(X) + (-1)²V(Y) = V(X) + V(Y). Une variance ne
peut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel
que soit le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : X - Y = X + (-1)Y, donc
V(X - Y) = V(X) + (-1)² V(Y) = 4 + 1 = 5. Les variances
s'ajoutent, même pour une différence.

]]> 3

]]> Piège classique : on ne soustrait pas les variances.
Soustraire une variable ajoute de l'aléa autant que
l'ajouter : V(X - Y) = V(X) + V(Y).

]]> 4

]]> Erreur : le terme V(Y) ne disparaît pas ; -Y fluctue
exactement autant que Y.

]]> √17

]]> Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à
l'écart-type ?). V(X - Y) = 4 + 1 = 5.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q06 : Écart-type de la moyenne d'échantillon Soit un échantillon de taille n = 100 d'une variable
d'écart-type σ = 5, et Mₙ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut σ(Mₙ) ?

]]> Formules d'échantillon : σ(Sₙ) = σ√n et
\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. C'est ce facteur
\frac{1}{\sqrt{n}} qui fonde la précision croissante des
sondages et mesures répétées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{5}{\sqrt{100}} = 0{,}5

]]> Bonne réponse : V(Mₙ) = V/n donc
\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =
\dfrac{5}{10}. Le fameux facteur \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

]]> 5

]]> Erreur : moyenner réduit la dispersion. Chaque
observation a un écart-type de 5, mais leur moyenne
fluctue dix fois moins.

]]> \dfrac{5}{100} = 0{,}05

]]> Erreur : c'est la variance qui se divise par n.
L'écart-type, sa racine, se divise par √n = 10.

]]> 50

]]> Erreur : 50 = 5√100 est l'écart-type de la
somme Sₙ, pas de la moyenne. Diviser par n ramène
à 0{,}5.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q07 : Espérance d'une somme d'échantillon Soit Sₙ = X₁ + ⋯ + X₅₀ la somme d'un échantillon de
taille 50 d'une variable d'espérance μ = 2. Que vaut
E(Sₙ) ?

]]> Pour un échantillon (X₁, …, Xₙ) d'une loi d'espérance
μ : E(Sₙ) = nμ (linéarité) et E(Mₙ) = μ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 100

]]> Bonne réponse : par linéarité, E(Sₙ) = nμ = 50 × 2 = 100.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est l'espérance d'une observation (et
celle de la moyenne Mₙ). La somme de 50 observations a
pour espérance 50 × 2.

]]> 52

]]> Erreur : 50 + 2 additionne des objets de natures
différentes. La règle est multiplicative : nμ = 100.

]]> 25

]]> Erreur : 50/2 ne correspond à aucune formule. E(Sₙ) = nμ = 100.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q08 : Une binomiale comme somme Soit X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p). Comment retrouve-t-on la
formule V(X) = np(1-p) ?

]]> Décomposition fondamentale : \mathcal{B}(n\,;\,p) est la loi
de X₁ + ⋯ + Xₙ, où les Xᵢ sont des Bernoulli
indépendantes. Espérances : n × p ; variances
(indépendance) : n × p(1-p).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En écrivant X comme somme de n variables de Bernoulli
indépendantes, chacune de variance p(1-p)

]]> Bonne réponse : X = X₁ + ⋯ + Xₙ avec Xᵢ de
Bernoulli indépendantes ; l'additivité des variances donne
n × p(1-p).

]]> En calculant directement E(X²) par la formule binomiale

]]> Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du
programme passe par la décomposition en somme et
l'additivité des variances : c'est tout son intérêt.

]]> En dérivant l'espérance np par rapport à p

]]> Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste
ici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli
indépendantes.

]]> On ne peut pas : cette formule est admise sans justification

]]> Erreur : la démonstration est explicitement au programme,
via la décomposition en somme de variables de Bernoulli.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q09 : Effet de la taille d'échantillon On multiplie par 4 la taille n d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne Mₙ ?

]]> V(Mₙ) = V/n : la moyenne d'un échantillon se
concentre autour de μ à mesure que n croît. En pratique :
pour diviser l'incertitude (écart-type) par 2, il faut
quadrupler l'échantillon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par 4

]]> Bonne réponse : V(Mₙ) = V/n : quadrupler n
divise la variance de la moyenne par 4 (et son écart-type
par 2).

]]> Elle est divisée par 2

]]> Erreur : c'est l'écart-type qui est divisé par
√4 = 2. La variance, elle, suit V/n :
division par 4.

]]> Elle est divisée par 16

]]> Erreur : 16 appliquerait un carré de trop. V(Mₙ) est
proportionnelle à 1/n : facteur 4, pas 16.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : c'est l'espérance E(Mₙ) = μ qui est
insensible à n. La dispersion de la moyenne, elle, fond
quand l'échantillon grandit.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q10 : Espérance de la moyenne d'échantillon Soit Mₙ la moyenne d'un échantillon de taille n d'une
variable d'espérance μ. Que vaut E(Mₙ) ?

]]> E(Mₙ) = μ : la taille de l'échantillon n'affecte que la
précision (V(Mₙ) = V/n), pas le centre. C'est le point
de départ de l'estimation statistique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc μ, quelle que soit la taille n

]]> Bonne réponse : E(Mₙ) = 1/nE(Sₙ) = nμ/n = μ. La moyenne d'échantillon vise juste
en moyenne, pour tout n.

]]> μ/n

]]> Erreur : la division par n est déjà incluse dans la
définition de Mₙ ; elle compense exactement la somme des
n espérances.

]]> nμ

]]> Erreur : nμ est l'espérance de la somme Sₙ. La
moyenne divise par n : E(Mₙ) = μ.

]]> Cela dépend de la variance de la loi

]]> Erreur : la variance règle la dispersion de Mₙ
autour de μ, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours
μ.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q11 : Quelle égalité est toujours vraie ? Soient X et Y deux variables aléatoires quelconques
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?

]]> À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans
condition ; l'additivité concerne les variances et demande
l'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent
pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X + Y) = E(X) + E(Y)

]]> Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande
aucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent
l'indépendance, et peuvent être fausses sans elle.

]]> V(X + Y) = V(X) + V(Y)

]]> Erreur : vraie seulement sous indépendance.
Contre-exemple : Y = -X donne V(X+Y) = 0.

]]> E(XY) = E(X) E(Y)

]]> Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est
d'ailleurs pas un attendu du programme). Avec Y = X :
E(X²) ≠ E(X)² dès que V(X) > 0.

]]> σ(X + Y) = σ(X) + σ(Y)

]]> Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels
quels (même sous indépendance, ce sont les variances
qui s'ajoutent : σ(X+Y) = √σ_X² + σ_Y²).

]]> Sommes de variables aléatoires — Q12 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on note S la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
3{,}5, que vaut E(S) ?

]]> Toute la puissance de la linéarité : E(S) = 2 \times 3{,}5 =
7 sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le
tableau des 36 issues).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =
7, par linéarité, sans même détailler la loi de S.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est le maximum d'un dé. La somme de deux
dés est centrée sur 3{,}5 + 3{,}5 = 7.

]]> 3{,}5

]]> Erreur : 3{,}5 est l'espérance d'un seul dé (ou de la
moyenne des deux). La somme double : 7.

]]> 12{,}25

]]> Erreur : 3{,}5^2 multiplierait les espérances, ce qui
correspondrait à un produit de variables. Pour une somme,
on additionne : 7.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q13 : Espérance de $X + b$ X est une variable aléatoire d'espérance E(X) = 10. Que
vaut E(X + 5) ?

]]> E(aX + b) = aE(X) + b : l'espérance suit les
transformations affines. Décaler les valeurs décale la
moyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Bonne réponse : ajouter 5 à toutes les valeurs décale
la moyenne de 5 : E(X + b) = E(X) + b.

]]> 10

]]> Erreur : c'est la variance qui ignore les
translations ; la moyenne, elle, suit le décalage.

]]> 50

]]> Multiplication indue : 50 = 5 × E(X) correspond à
E(5X) : ici on ajoute 5, on ne multiplie pas.

]]> Impossible sans connaître la loi de X

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais
connaître la loi : c'est toute sa puissance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q14 : Variance de $X + 5$ X a pour variance V(X) = 4. Que vaut V(X + 5) ?

]]> V(aX + b) = a²V(X) : la constante b s'évapore
(translation), le facteur a ressort au carré
(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les
deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 : une translation ne change pas la dispersion

]]> Bonne réponse : ajouter 5 déplace toutes les valeurs
du même pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent
pas d'un millimètre : V(X + b) = V(X).

]]> 9

]]> Erreur : le +5 ne s'ajoute pas à la variance : il
glisse le paquet entier sans l'étaler.

]]> 100

]]> Erreur : 100 = 5² × 4 correspond à V(5X)
(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la
variance.

]]> 4 + 25 = 29

]]> Erreur : 25 = 5² n'a rien à faire ici : la constante
b disparaît totalement de la variance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q15 : Espérance d'une différence X et Y sont deux variables aléatoires avec E(X) = 8
et E(Y) = 3. Que vaut E(X - Y) ?

]]> E(X ± Y) = E(X) ± E(Y), sans aucune hypothèse : la
linéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut
l'indépendance » ne concerne que V(X + Y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : linéarité : E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8 - 3 = 5, indépendance ou pas.

]]> 11

]]> Signe : 11 est E(X + Y) : la différence soustrait
les espérances.

]]> 24

]]> Erreur : 24 = 8 × 3 évoquerait un produit
(et E(XY) = E(X)E(Y) exige d'ailleurs
l'indépendance) : la différence reste additive.

]]> On ne peut pas savoir sans l'indépendance de X et Y

]]> Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,
dépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame
l'indépendance.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q16 : Variance de $-X$ X a pour variance V(X) = 9. Que vaut V(-X) ?

]]> V(-X) = V(X) et σ(-X) = σ(X) : la dispersion
ignore l'orientation. Corollaire pratique : V(X - Y) = V(X) + V(Y) pour des variables indépendantes : le moins
devient plus !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Bonne réponse : V(aX) = a²V(X) avec a = -1 :
(-1)² = 1 : retourner les valeurs retourne le paquet
sans changer son étalement.

]]> -9

]]> Impossible : une variance est une moyenne de carrés
d'écarts : jamais négative, quelle que soit la
transformation.

]]> 81

]]> Erreur : 81 = 9² élèverait la variance au carré :
la règle met au carré le coefficient a = -1, pas
la variance.

]]> 0

]]> Erreur : -X reste aléatoire : sa dispersion est
intacte : seul le signe des valeurs a basculé.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q17 : Écart-type d'une somme X et Y sont indépendantes, avec σ(X) = 3 et
σ(Y) = 4. Que vaut σ(X + Y) ?

]]> Indépendance : V(X + Y) = V(X) + V(Y), donc σ(X+Y) = √σ(X)² + σ(Y)² : une addition « à la
Pythagore ». Conséquence célèbre : n sources de bruit
indépendantes cumulent en √n, pas en n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5 : on additionne les variances (9 + 16 = 25), puis
racine

]]> Bonne réponse : les variances s'ajoutent
(indépendance), pas les écarts-types : σ(X+Y) = √9 + 16 = 5 : le triangle 3-4-5 des
probabilités.

]]> 7 : la somme des écarts-types

]]> L'erreur ciblée : les écarts-types ne s'additionnent
JAMAIS : l'additivité passe par les variances : √9 + 16 = 5 < 7 : les fluctuations se compensent
partiellement.

]]> 25

]]> Étape manquante : 25 est la variance de la somme ;
l'écart-type en est la racine : 5.

]]> 12

]]> Erreur : 12 = 3 × 4 ne correspond à aucune
règle : additivité des variances, puis racine.

]]> Sommes de variables aléatoires — Q18 : Quand la variance est-elle additive ? L'égalité V(X + Y) = V(X) + V(Y) est-elle toujours
vraie ?

]]> E(X + Y) = E(X) + E(Y) : toujours. V(X + Y) = V(X) + V(Y) : seulement si indépendance. Ce contraste est LA
nuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,
l'oublier en coûte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle exige l'indépendance de X et Y
(contre-exemple : Y = -X)

]]> Bonne réponse : avec Y = -X : X + Y = 0, variance
nulle, alors que V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0 : sans
indépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se
renforcer.

]]> Oui : la variance est linéaire comme l'espérance

]]> Faux : la variance n'est PAS linéaire (V(aX) = a²V,
déjà). Son additivité est un privilège de
l'indépendance.

]]> Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation

]]> Trop sévère : pour des variables indépendantes,
l'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas
des tirages répétés.

]]> Oui, dès que X et Y ont la même loi

]]> Erreur : même loi n'est pas indépendance : Y = -X a la
même loi que X (si X est symétrique) et l'égalité
échoue.

]]>