$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Suites et limites Limite d'une suite : définitions, limites usuelles (qⁿ,
puissances de n), opérations et formes indéterminées, théorèmes de
comparaison et d'encadrement, suites monotones (convergence des
suites croissantes majorées), raisonnement par récurrence, suites
arithmético-géométriques.

]]> Suites et limites — Q01 : Limite de $q^n$ pour $0 < q < 1$ Soit q un réel tel que 0 < q < 1. Quelle est la limite de la
suite (qⁿ) quand n tend vers +∞ ?

]]> Limites de référence de (qⁿ) : si -1 < q < 1, la limite est
0 ; si q > 1, c'est +∞ ; si q = 1, la suite est
constante égale à 1 ; si q ≤ -1, pas de limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par un facteur
strictement compris entre 0 et 1 écrase les valeurs vers
0. Exemple : (0{,}5)^n vaut 0{,}5 ; 0{,}25 ;
0{,}125 ; etc.

]]> +∞

]]> Erreur : qⁿ → +∞ demande q > 1. Ici chaque
multiplication réduit la valeur.

]]> 1

]]> Erreur : la suite part de q⁰ = 1 mais s'en éloigne
aussitôt en décroissant vers 0. La valeur initiale n'est
pas la limite.

]]> q

]]> Erreur : q n'est que le premier terme non trivial
(q¹). Les puissances suivantes continuent de diminuer
vers 0.

]]> Suites et limites — Q02 : Définition de $\lim u_n = +\infty$ Que signifie « la suite (uₙ) tend vers +∞ » ?

]]> lim uₙ = +∞ : pour tout réel A, l'intervalle
[A ; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir
d'un certain rang. L'ordre des quantificateurs est essentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes
uₙ à partir d'un certain rang

]]> Bonne réponse : c'est la définition officielle. Aussi grand
que soit le seuil A, la suite finit par le dépasser
définitivement.

]]> La suite est croissante

]]> Erreur : une suite peut être croissante et converger (par
exemple uₙ = 1 - 1/n tend vers 1), et une
suite peut tendre vers +∞ sans être croissante.

]]> Les termes deviennent de plus en plus grands

]]> Trop vague : « de plus en plus grands » décrit une
croissance, pas un dépassement de tout seuil. La
définition exige que chaque seuil A soit franchi pour de
bon.

]]> Il existe un terme uₙ plus grand que n'importe quel réel

]]> Erreur de quantificateurs : aucun terme fixé n'est infini.
C'est pour chaque seuil A qu'il existe un rang à
partir duquel tous les termes dépassent A.

]]> Suites et limites — Q03 : Limite d'un quotient de polynômes en $n$ Quelle est la limite de la suite définie par
uₙ = 2n² + 1/n² + 3 ?

]]> Pour un quotient de polynômes en n, on factorise par la plus
haute puissance : uₙ = 2 + 1/n²/1 + 3/n². Comme
1/n² → 0, la limite vaut 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : en factorisant par n² en haut et en bas,
uₙ = 2 + 1/n²/1 + 3/n² → 2/1 = 2.

]]> +∞

]]> Erreur : le numérateur tend vers +∞, mais le
dénominateur aussi. C'est une forme indéterminée
∞/∞ qu'il faut lever en factorisant par n².

]]> 0

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ont le même degré,
la limite est le quotient des coefficients dominants
(2/1), pas 0.

]]> ⅓

]]> Erreur : ⅓ est le quotient des termes
constants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes
en n² qui dominent.

]]> Suites et limites — Q04 : Reconnaître une forme indéterminée Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme
indéterminée ?

]]> Les quatre formes indéterminées au programme :
« ∞ - ∞ », « 0 × ∞ »,
« ∞/∞ » et « 0/0 ».
Tout le reste se conclut par les théorèmes d'opérations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc lim uₙ = +∞ et lim vₙ = -∞, on cherche
lim (uₙ + vₙ)

]]> Bonne réponse : « ∞ - ∞ » est indéterminée. Selon
les suites, le résultat peut être fini, infini ou ne pas
exister (exemples : n et -n ; n² et -n).

]]> lim uₙ = +∞ et lim vₙ = +∞, on cherche
lim (uₙ + vₙ)

]]> Erreur : ∞ + ∞ n'est pas indéterminée, la somme
tend toujours vers +∞.

]]> lim uₙ = 2 et lim vₙ = +∞, on cherche
lim (uₙ × vₙ)

]]> Erreur : le produit d'une limite non nulle par une
limite infinie n'est pas indéterminé : ici il tend vers
+∞. Le cas indéterminé est 0 × ∞.

]]> lim uₙ = 2 et lim vₙ = +∞, on cherche
lim uₙ/vₙ

]]> Erreur : un numérateur borné sur un dénominateur qui tend
vers l'infini donne 0, sans indétermination.

]]> Suites et limites — Q05 : Théorème des gendarmes Pour tout n ≥ 1, on pose uₙ = sin(n)/n et on
sait que -1/n ≤ uₙ ≤ 1/n.
Que peut-on conclure ?

]]> Théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir
d'un certain rang et si (vₙ) et (wₙ) convergent vers la
même limite \ell, alors (uₙ) converge vers \ell. Ici
\ell = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) converge vers 0, par le théorème d'encadrement

]]> Bonne réponse : les deux suites encadrantes -1/n et 1/n
tendent vers 0, donc la suite encadrée aussi (théorème des
gendarmes).

]]> (uₙ) n'a pas de limite car sin(n) n'en a pas

]]> Erreur : le facteur sin(n) oscille mais reste borné,
et il est divisé par n qui tend vers l'infini.
L'encadrement force la convergence vers 0.

]]> (uₙ) converge vers 1

]]> Erreur : tu penses peut-être à la limite de
sin x/x en 0. Ici n tend vers +∞, et
l'encadrement donne 0.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître le signe de uₙ

]]> Erreur : le théorème des gendarmes n'exige aucun signe,
seulement un encadrement par deux suites de même limite.

]]> Suites et limites — Q06 : Suite croissante et majorée Soit (uₙ) une suite croissante et majorée par 10.
Que peut-on affirmer ?

]]> Théorème de convergence monotone : croissante et majorée
⇒ convergente. Attention : la limite est au plus
égale au majorant, sans lui être nécessairement égale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) converge vers une limite \ell \leq 10

]]> Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge
(théorème de convergence monotone), et sa limite est
inférieure ou égale à tout majorant.

]]> (uₙ) converge vers 10

]]> Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant
donné. Exemple : uₙ = 1 - 1/n+1 est croissante,
majorée par 10, et converge vers 1.

]]> (uₙ) tend vers +∞

]]> Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous
10. Une suite croissante ne tend vers +∞ que si
elle est non majorée.

]]> On ne peut rien dire sans connaître u₀

]]> Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique
quelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration
suffisent.

]]> Suites et limites — Q07 : Suites croissantes et infini Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

]]> Le théorème exact combine deux hypothèses : croissante
et non majorée ⇒ limite +∞. Chaque
hypothèse seule est insuffisante, comme le montrent les
contre-exemples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute suite croissante non majorée tend vers +∞

]]> Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La croissance
empêche de redescendre, et l'absence de majorant force à
dépasser tout seuil.

]]> Toute suite croissante tend vers +∞

]]> Faux : une suite croissante peut converger si elle est
majorée, comme uₙ = 1 - 1/n+1 qui tend vers
1.

]]> Toute suite non majorée tend vers +∞

]]> Faux : la suite 0, 1, 0, 2, 0, 3, … est non
majorée mais ne tend pas vers +∞ (elle repasse sans
cesse par 0). Il manque la croissance.

]]> Toute suite divergente tend vers +∞ ou -∞

]]> Faux : uₙ = (-1)ⁿ diverge sans tendre vers l'infini :
elle oscille entre -1 et 1. « Divergente » signifie
seulement « non convergente ».

]]> Suites et limites — Q08 : Structure d'un raisonnement par récurrence Pour démontrer par récurrence qu'une propriété P(n) est vraie
pour tout entier n ≥ n₀, que doit-on établir ?

]]> Récurrence = initialisation (P(n₀) vraie) + hérédité (si
P(n) est vraie pour un rang n ≥ n₀ quelconque, alors
P(n+1) l'est aussi). Conclusion : P(n) vraie pour tout
n ≥ n₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(n₀) est vraie, et pour tout n ≥ n₀, P(n)
entraîne P(n+1)

]]> Bonne réponse : initialisation puis hérédité. Les deux
étapes sont indispensables, puis on conclut pour tout
n ≥ n₀.

]]> Pour tout n ≥ n₀, P(n) entraîne P(n+1)

]]> Incomplet : sans initialisation, rien ne démarre. La
propriété « n = n+1 » est héréditaire et pourtant toujours
fausse.

]]> P(n) est vraie pour n₀, n₀ + 1 et n₀ + 2

]]> Erreur : vérifier quelques cas ne prouve rien pour tous les
entiers. Il faut le mécanisme général de l'hérédité.

]]> P(n+1) entraîne P(n), pour tout n ≥ n₀

]]> Erreur de sens : l'hérédité se propage vers les rangs
croissants : on suppose P(n) et on démontre P(n+1).

]]> Suites et limites — Q09 : Somme des puissances de $q$ Pour q ≠ 1, que vaut la somme
1 + q + q² + ⋯ + qⁿ ?

]]> Formule clé : 1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} pour q ≠ 1. Moyen mnémotechnique
: \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}, ici n+1
termes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

]]> Bonne réponse : somme des n+1 premiers termes de la suite
géométrique de premier terme 1 et de raison q.

]]> \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}

]]> Erreur d'exposant : la somme compte n + 1 termes (de
q⁰ à qⁿ), l'exposant au numérateur est donc n+1.

]]> \dfrac{q^{n+1} - 1}{1 - q}

]]> Erreur de signe : ce quotient est l'opposé de la somme.
Numérateur et dénominateur doivent être « dans le même
sens » : \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

]]> n qⁿ

]]> Erreur : tu confonds avec une somme de termes égaux. Les
puissances de q sont toutes différentes, leur somme suit
la formule géométrique.

]]> Suites et limites — Q10 : Limite d'une suite arithmético-géométrique Soit (uₙ) définie par u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3. On admet
que (uₙ) converge vers un réel \ell. Que vaut \ell ?

]]> Si uₙ₊₁ = a uₙ + b et u_n \to \ell, alors par passage à
la limite \ell = a\,\ell + b. Ici
\ell = 0{,}5\,\ell + 3 \Leftrightarrow \ell = 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \ell = 6

]]> Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe
\ell = 0{,}5\,\ell + 3, d'où 0{,}5\,\ell = 3 puis
\ell = 6.

]]> \ell = 3

]]> Erreur : 3 est le terme constant de la relation, pas la
limite. Il faut résoudre \ell = 0{,}5\,\ell + 3.

]]> \ell = 1{,}5

]]> Erreur : 1{,}5 = 0{,}5 \times 3 mélange les deux
coefficients. L'équation correcte est
\ell = 0{,}5\,\ell + 3, de solution 6.

]]> Cela dépend de u₀

]]> Erreur : u₀ influence les termes de la suite mais pas la
valeur de la limite quand elle existe : ici le coefficient
0{,}5 contracte vers l'unique point fixe 6.

]]> Suites et limites — Q11 : Théorème de comparaison Soit (uₙ) une suite telle que uₙ ≥ n² pour tout n.
Que peut-on conclure ?

]]> Théorème de comparaison : si uₙ ≥ vₙ à partir d'un
certain rang et vₙ → +∞, alors uₙ → +∞.
Ici vₙ = n².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) tend vers +∞

]]> Bonne réponse : théorème de comparaison. Comme
n² → +∞ et que uₙ est au-dessus, (uₙ) est
poussée vers +∞.

]]> (uₙ) est croissante

]]> Erreur : être au-dessus de n² n'impose aucune monotonie ;
la suite peut osciller tout en restant au-dessus de la
parabole.

]]> (uₙ) converge vers une limite supérieure à n²

]]> Erreur : une limite est un nombre fixe, elle ne peut pas
être « supérieure à n² » qui dépend de n. Et ici la
suite ne converge pas : elle explose vers +∞.

]]> On ne peut rien conclure sans majorant

]]> Erreur : pour une limite +∞, c'est une minoration
par une suite tendant vers +∞ qui conclut ; aucun
majorant n'est requis.

]]> Suites et limites — Q12 : Limite d'un quotient de suites géométriques Quelle est la limite de la suite définie par
uₙ = 3ⁿ/2ⁿ ?

]]> Regrouper les puissances : 3ⁿ/2ⁿ = (3/2)ⁿ. C'est une suite géométrique de
raison 3/2 > 1, donc de limite +∞.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +∞

]]> Bonne réponse : uₙ = (3/2)ⁿ est une
suite géométrique de raison 3/2 > 1, donc elle
tend vers +∞.

]]> 0

]]> Erreur : qⁿ → 0 demande |q| < 1. Ici la raison est
3/2 > 1 : la suite explose au lieu de s'éteindre.

]]> 3/2

]]> Erreur : 3/2 n'est que le terme u₁. La suite
continue d'être multipliée par 3/2 à chaque rang.

]]> 1, car les deux suites tendent vers +∞

]]> Erreur : ∞/∞ est une forme
indéterminée, elle ne vaut pas 1 d'office. On la lève ici
en écrivant uₙ = (3/2)ⁿ.

]]>