$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Vecteurs, droites et plans de l'espaceVecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et
coplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point
et couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,
bases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q01 : Vecteurs colinéairesDans un repère de l'espace, on donne
u⃗(2 ; -4 ; 6) et v⃗(1 ; -2 ; 3).
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?]]>u⃗ et v⃗ (avec v⃗ ≠ 0⃗) sont
colinéaires s'il existe un réel k tel que
u⃗ = kv⃗, c'est-à-dire si les coordonnées sont
proportionnelles. Ici k = 2.]]>1.00.00truetrueabcOui, car u⃗ = 2v⃗]]>Bonne réponse : chaque coordonnée de u⃗ est le
double de celle de v⃗ : u⃗ = 2v⃗, les
vecteurs sont colinéaires.]]>Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales]]>Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la proportionnalité des coordonnées : u⃗ = kv⃗
pour un réel k.]]>Non, car 2 + (-4) + 6 ≠ 1 + (-2) + 3]]>Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens
géométrique ici. Le test est la proportionnalité
coordonnée par coordonnée.]]>On ne peut pas le savoir sans connaître le repère]]>Erreur : la relation u⃗ = 2v⃗ se lit sur les
coordonnées et vaut dans tout repère fixé.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q02 : Déterminer une droite de l'espacePar quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?]]>Une droite de l'espace = un point + une direction (vecteur
directeur non nul) : M ∈ d ⇔ AM⃗ = t u⃗. (Deux points distincts conviennent aussi : le
second fournit le vecteur AB⃗.)]]>1.00.00truetrueabcUn point et un vecteur directeur non nul]]>Bonne réponse : la droite passant par A de vecteur
directeur u⃗ est l'ensemble des points M tels que
AM⃗ = t u⃗, t réel.]]>Un seul point]]>Insuffisant : une infinité de droites passent par un même
point (dans toutes les directions de l'espace).]]>Un vecteur directeur seul]]>Insuffisant : un vecteur donne la direction, mais une
infinité de droites parallèles la partagent. Il faut
ancrer la droite par un point.]]>Deux vecteurs non colinéaires]]>Erreur : deux vecteurs non colinéaires engendrent la
direction d'un plan, pas d'une droite.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q03 : Déterminer un plan de l'espacePar quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?]]>Un plan = un point + deux directions indépendantes :
M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} +
b\vec{v} (a, b réels), avec u⃗, v⃗ non
colinéaires. Version points : trois points non alignés.]]>1.00.00truetrueabcUn point et deux vecteurs non colinéaires]]>Bonne réponse : le plan passant par A dirigé par
u⃗ et v⃗ non colinéaires est l'ensemble des
points M tels que AM⃗ = au⃗ + bv⃗.]]>Un point et un vecteur non nul]]>Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une droite. Un plan a besoin de deux directions
indépendantes.]]>Trois points quelconques]]>Piège : trois points alignés laissent une infinité de
plans possibles. Il faut trois points non alignés.]]>Deux droites quelconques de l'espace]]>Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues
dans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou
strictement parallèles.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q04 : Vecteurs coplanairesOn donne u⃗(1 ; 0 ; 0), v⃗(0 ; 1 ; 0) et
w⃗(2 ; 3 ; 0). Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?]]>Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme
combinaison linéaire des deux autres (supposés non
colinéaires) : ici w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗.]]>1.00.00truetrueabcOui, car w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗]]>Bonne réponse : w⃗ est combinaison linéaire de
u⃗ et v⃗ : les trois vecteurs partagent la
direction d'un même plan (ici le plan des deux premières
coordonnées).]]>Non, car aucun n'est colinéaire à un autre]]>Erreur : la coplanarité de trois vecteurs ne se réduit
pas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est
combinaison linéaire des deux autres.]]>Non, car ils sont dans l'espace]]>Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être
coplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée
étant nulle.]]>Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires]]>Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par
exemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation
w⃗ = 2u⃗ + 3v⃗ qui conclut ici.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q05 : Base de l'espaceQue faut-il pour que trois vecteurs u⃗, v⃗,
w⃗ forment une base de l'espace ?]]>Base de l'espace = trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur
s'écrit alors de manière unique xu⃗ + yv⃗ + zw⃗ : ce sont ses coordonnées dans la base.]]>1.00.00truetrueabcQu'ils soient non coplanaires]]>Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent
tout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon
unique.]]>Qu'ils soient deux à deux non colinéaires]]>Insuffisant : u⃗, v⃗ et u⃗ + v⃗
sont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne
peuvent pas engendrer l'espace.]]>Qu'ils soient deux à deux orthogonaux]]>Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base orthogonale (confort de calcul), mais une base
quelconque demande seulement la non-coplanarité.]]>Qu'ils aient tous la même norme]]>Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition
d'une base. Seule compte l'indépendance des trois
directions.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q06 : La diagonale du cube[Figure : Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure
(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec
E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H
au-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,
de A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).]
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur AG⃗ (grande diagonale) en fonction de
AB⃗, AD⃗ et AE⃗ ?
]]>Décomposition dans le cube : AG⃗ = AB⃗ + BC⃗ + CG⃗, et BC⃗ = AD⃗, CG⃗ = AE⃗
(arêtes parallèles). D'où AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗.]]>1.00.00truetrueabcAG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗]]>Bonne réponse : pour aller de A à G, on avance selon
l'arête AB⃗, puis AD⃗ (profondeur), puis
AE⃗ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube.]]>AG⃗ = AB⃗ + AD⃗]]>Incomplet : AB⃗ + AD⃗ = AC⃗, la diagonale
de la face inférieure. Pour monter jusqu'à G, il faut
encore ajouter AE⃗.]]>AG⃗ = AB⃗ + AE⃗]]>Incomplet : AB⃗ + AE⃗ = AF⃗, la diagonale
de la face avant. Il manque la profondeur AD⃗.]]>AG⃗ = AB⃗ - AD⃗ + AE⃗]]>Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le
sens direct de A vers G ; aucune soustraction n'est
nécessaire.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q07 : Deux droites sans point communDans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?]]>Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,
parallèles (strictement ou confondues), ou non coplanaires.
Ce troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en
cherchant un plan contenant les deux droites.]]>1.00.00truetrueabcNon : elles peuvent aussi être non coplanaires]]>Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux
droites sans point commun sont soit strictement parallèles
(même direction), soit non coplanaires (directions
différentes, aucun plan commun).]]>Oui, comme dans le plan]]>Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne
survit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se
croisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles.]]>Oui, si elles sont toutes les deux horizontales]]>Erreur : deux droites « horizontales » de directions
différentes et d'altitudes différentes sont non
coplanaires sans être parallèles.]]>Non : elles sont forcément confondues]]>Contradiction : des droites confondues ont tous leurs
points communs, pas aucun.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q08 : Coordonnées dans le repère du cube[Figure : Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à
l'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,
G de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE
sont tracés en rouge depuis A.]
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, on munit l'espace du repère
(A ; AB⃗, AD⃗, AE⃗). Quelles
sont les coordonnées du sommet G ?
]]>Dans le repère (A ; AB⃗,AD⃗,AE⃗), les
sommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de 0
et de 1 : A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), E(0;0;1),
C(1;1;0), F(1;0;1), H(0;1;1) et G(1;1;1).]]>1.00.00truetrueabcG(1 ; 1 ; 1)]]>Bonne réponse : AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = 1 · AB⃗ + 1 · AD⃗ + 1 · AE⃗ :
coordonnées (1 ; 1 ; 1).]]>G(1 ; 1 ; 0)]]>Erreur : (1 ; 1 ; 0) est le sommet C, resté sur la
face inférieure. G est au-dessus de C : troisième
coordonnée 1.]]>G(0 ; 1 ; 1)]]>Erreur : (0 ; 1 ; 1) est le sommet H (au-dessus de
D). G se trouve au-dessus de C, donc en
(1 ; 1 ; 1).]]>G(1 ; 0 ; 1)]]>Erreur : (1 ; 0 ; 1) est le sommet F (au-dessus de
B). Pour G, la profondeur AD⃗ vaut aussi 1.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q09 : Position relative dans le cubeDans le cube ABCDEFGH (mêmes notations que précédemment,
E au-dessus de A, H au-dessus de D), quelle est la
position relative des droites (AB) et (DH) ?]]>Méthode : comparer les directions (AB⃗ et DH⃗
non colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point
commun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites non coplanaires, cas typique dans un cube.]]>1.00.00truetrueabcElles sont non coplanaires]]>Bonne réponse : (AB) est horizontale à l'avant, (DH)
verticale à l'arrière : directions non colinéaires et
aucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les
deux.]]>Elles sont sécantes]]>Erreur : (AB) vit sur la face inférieure avant, (DH)
part du sommet arrière D verticalement : elles ne se
rencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement).]]>Elles sont parallèles]]>Erreur : AB⃗ est horizontal et DH⃗ = AE⃗
est vertical : directions non colinéaires, donc pas de
parallélisme.]]>Elles sont confondues]]>Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues
signifierait la même droite.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q10 : Vecteur directeur d'une droite $(AB)$Soient A(1 ; 2 ; 3) et B(3 ; 1 ; 5). Quel vecteur
est directeur de la droite (AB) ?]]>AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A) = (2 ; -1 ; 2). Tout vecteur non nul colinéaire à
AB⃗ dirige aussi la droite.]]>1.00.00truetrueabcAB⃗(2 ; -1 ; 2)]]>Bonne réponse : AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A) = (2 ; -1 ; 2).]]>(4 ; 3 ; 8)]]>Erreur : tu as additionné les coordonnées de A et
B. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins
départ.]]>(2 ; 1 ; 2)]]>Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :
y_B - y_A = 1 - 2 = -1.]]>(1 ; 2 ; 3)]]>Erreur : ce sont les coordonnées du point A, pas d'un
vecteur directeur. La direction se lit sur AB⃗.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q11 : Tester l'alignement de trois pointsSoient A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 4 ; 2) et
C(4 ; 6 ; 2). Ces trois points sont-ils alignés ?]]>A, B, C sont alignés si et seulement si AB⃗ et
AC⃗ sont colinéaires. Ici AC⃗ = 3/2AB⃗ : alignés (et tous dans le plan
d'altitude z = 2).]]>1.00.00truetrueabcOui, car AC⃗ = 3/2 AB⃗]]>Bonne réponse : AB⃗(2 ; 4 ; 0) et
AC⃗(3 ; 6 ; 0) sont colinéaires
(3 = 3/2 × 2, 6 = 3/2 × 4,
0 = 3/2 × 0) : les points sont alignés.]]>Non, car C n'est pas le milieu de [AB]]]>Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit
un milieu. Le test est la colinéarité de AB⃗ et
AC⃗.]]>Non, car les coordonnées de AB⃗ et AC⃗ sont
différentes]]>Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit
d'un facteur commun : ici \overrightarrow{AC} = 1{,}5\,\overrightarrow{AB}.]]>On ne peut pas conclure sans calculer les distances]]>Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de AB⃗
et AC⃗) est direct et suffit. Aucune distance n'est
nécessaire.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q12 : Appartenance à un planSoit \mathcal{P} le plan passant par A et dirigé par les
vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗. À quelle
condition un point M appartient-il à \mathcal{P} ?]]>Caractérisation d'un plan : M \in \mathcal{P}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v} avec a, b
réels. Les couples (a ; b) jouent le rôle de coordonnées
dans le plan.]]>1.00.00truetrueabcIl existe des réels a et b tels que
AM⃗ = au⃗ + bv⃗]]>Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du
plan : AM⃗ doit se décomposer sur les deux
directions du plan.]]>Il existe un réel k tel que AM⃗ = ku⃗]]>Trop restrictif : cette condition décrit la droite
passant par A dirigée par u⃗, une partie seulement
du plan.]]>AM⃗ · u⃗ = 0]]>Erreur : l'orthogonalité à u⃗ caractérise un autre
plan (celui de vecteur normal u⃗). Ici u⃗
est une direction contenue dans \mathcal{P}.]]>AM⃗ = u⃗ + v⃗ exactement]]>Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul
point du plan (celui de coordonnées (1 ; 1) dans le
repère du plan). Les coefficients a et b doivent
rester libres.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q13 : Relation de Chasles dans l'espacePour trois points A, B, C de l'espace, que vaut
AB⃗ + BC⃗ ?]]>Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Réflexe : insérer un point
intermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme.]]>1.00.00truetrueabcAC⃗]]>Bonne réponse : relation de Chasles : aller de A à B
puis de B à C revient à aller de A à C : la
lettre du milieu s'efface.]]>CA⃗]]>Sens inversé : le trajet part de A et finit en C :
AC⃗, pas son opposé.]]>BB⃗]]>Erreur : BB⃗ = 0⃗ : la somme ne
s'annule que si C = A.]]>AB⃗ × BC⃗]]>Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition
vectorielle enchaîne les déplacements (Chasles).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q14 : Milieu d'un segment de l'espaceSoient A(1\ ;\ 4\ ;\ -2) et B(3\ ;\ 0\ ;\ 6). Quelles
sont les coordonnées du milieu I de [AB] ?]]>Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension 3 comme en
dimension 2 : I(x_A + x_B/2\ ;\ y_A+y_B/2\ ;\ z_A+z_B/2).]]>1.00.00truetrueabcI(2\ ;\ 2\ ;\ 2)]]>Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :
(1+3/2\ ;\ 4+0/2\ ;\ -2+6/2).]]>I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)]]>Division oubliée : les sommes valent (4\ ;\ 4\ ;\ 4) : le milieu prend la moitié.]]>I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)]]>Erreur : ce sont les demi-différences : le milieu
moyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas.]]>I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)]]>Troisième coordonnée : -2 + 6/2 = 2, pas 4 :
attention au signe de -2.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q15 : Colinéarité en coordonnéesLes vecteurs u⃗(2\ ;\ -1\ ;\ 3) et
v⃗(-4\ ;\ 2\ ;\ -6) sont-ils colinéaires ?]]>v⃗ colinéaire à u⃗ ≠ 0⃗ \iff
v⃗ = ku⃗ : tester si le rapport
coordonnée par coordonnée est constant (-4/2 = 2/-1 = -6/3 = -2). Outil numéro un pour
alignement et parallélisme.]]>1.00.00truetrueabcOui : v⃗ = -2 u⃗]]>Bonne réponse : chaque coordonnée de v⃗ vaut
-2 fois celle de u⃗ : le même coefficient
partout, c'est la définition en actes.]]>Non : leurs coordonnées ne sont pas égales]]>Critère trop fort : la colinéarité demande la proportionnalité des coordonnées, pas leur égalité.]]>Non : ils ne sont pas de même sens]]>Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : k = -2
négatif donne des vecteurs opposés mais bien
colinéaires.]]>On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé]]>Erreur : la colinéarité est une affaire de
proportionnalité, lisible dans n'importe quel repère
(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles).]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q16 : Lire des coordonnées dans une baseDans une base (i⃗\ ;\ j⃗\ ;\ k⃗) de
l'espace, on a w⃗ = 3i⃗ - k⃗. Quelles sont
les coordonnées de w⃗ ?]]>Coordonnées = coefficients dans la décomposition w⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗, dans l'ordre de la base,
zéros compris. La base garantit existence et unicité de
cette écriture.]]>1.00.00truetrueabc(3\ ;\ 0\ ;\ -1)]]>Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition : 3 sur i⃗, 0 sur j⃗
(absent), -1 sur k⃗.]]>(3\ ;\ -1)]]>Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :
l'absence de j⃗ se code par un 0, elle ne
supprime pas la coordonnée.]]>(3\ ;\ -1\ ;\ 0)]]>Ordre : le -1 porte sur k⃗, troisième
vecteur : le zéro est en deuxième position.]]>(0\ ;\ 3\ ;\ -1)]]>Décalage : le coefficient de i⃗ (3) ouvre le
triplet.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q17 : Tester la coplanarité de trois vecteursComment vérifier que w⃗ est coplanaire à u⃗ et
v⃗ (non colinéaires) ?]]>w⃗ coplanaire à (u⃗\ ;\ v⃗) non
colinéaires \iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}. En
pratique : poser le système 3 × 2 ; deux équations
déterminent (a\ ;\ b), la troisième valide ou réfute.]]>1.00.00truetrueabcChercher des réels a et b tels que w⃗ = au⃗ + bv⃗ (système sur les coordonnées)]]>Bonne réponse : coplanaire = combinaison linéaire des
deux autres : trois équations (une par coordonnée), deux
inconnues : s'il y a une solution, coplanarité.]]>Vérifier que w⃗ = u⃗ + v⃗ exactement]]>Trop restrictif : la somme est UNE combinaison
particulière (a = b = 1) : la coplanarité autorise
tous les coefficients.]]>Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune]]>Faux critère : il caractérise les plans de
coordonnées seulement : un plan quelconque n'aligne
aucun zéro.]]>C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires]]>Faux : (i⃗\ ;\ j⃗\ ;\ k⃗) n'est pas
coplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est
une vraie contrainte.]]>Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q18 : Construire un point par égalité vectorielleSoient A(1\ ;\ 0\ ;\ 2), B(2\ ;\ 1\ ;\ 0) et
C(0\ ;\ 3\ ;\ 1). Quelles sont les coordonnées du point
M défini par AM⃗ = 2AB⃗ - AC⃗ ?]]>Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs
(B - A, C - A), combinaison, puis M = A + AM⃗ : l'oubli du retour au point (ajouter
A) est l'erreur signature de l'exercice.]]>1.00.00truetrueabcM(4\ ;\ -1\ ;\ -1)]]>Bonne réponse : AB⃗(1\ ;\ 1\ ;\ -2),
AC⃗(-1\ ;\ 3\ ;\ -1), donc
AM⃗(3\ ;\ -1\ ;\ -3) et M = A + AM⃗ = (4\ ;\ -1\ ;\ -1).]]>M(3\ ;\ -1\ ;\ -3)]]>Dernière étape sautée : (3\ ;\ -1\ ;\ -3) sont les
coordonnées du vecteur AM⃗ : il
reste à les ajouter à celles de A.]]>M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)]]>Vecteur AC⃗ non soustrait :
l'égalité retranche AC⃗, elle ne
l'ajoute pas.]]>M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)]]>Erreur : c'est 2AB⃗ seul (transformé
en point depuis l'origine) : il manque A et le terme
-AC⃗.]]>